2011年中招考试：《初中数学》竞赛训练题(4)
数学竞赛训练题五答案
一、选择题：(每小题5分，共50分)
题号12345678910
答案CBADDABCCD
二、填空题：(每小题5分，共30分)
11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或 ; 15. ; 16. 9.
三、解答题：(5大题，共70分)
17.(1)由 ，得 ------------3分
为锐角， ， -------5分
--------------------------6分
(2) ---8分
又 ， ，得 ， --------------------------10分
--------------------------12分
(若通过 得出 ，求出 ，
未舍去 ， 得两解，扣2分.)
18.(1)设点 ，由 得 ， ，
由 ，得 ， ------------------------4分
即 . ---------------------6分
(2)由(1)知 为抛物线 ： 的焦点， 为过焦点 的直线与 的两个交点.
①当直线 斜率不存在时，得 ， ， . ---8分
②当直线斜率存在且不为0时，设 ，代入 得
.设 ，
则 ，得 ， ----12分
(或 )
，此时 ，由 得
。 ---------------14分
19.解法一：
(1)在 中， ， ，
∴ ，取 中点 ，
， ，
在 中， ， ，又 均为锐角，∴ ， ---------------2分
，又 外， . ---------------4分
(2)∵平面 平面 ，∴ ，过 作 于 ，连结 ，则 ，
为二面角 的平面角， ------------------------6分
易知 = ，∴ ，
二面角 的大小为 . ------------------------9分
(其它等价答案给同样的得分)
(3) ， 点到平面 的距离，就是 到平面 的距离，-------------------------------11分
过 作 于 ，则 ， 的长度即为所求， 由上 (或用等体积 求)----------------------------------14分
解法二：
如图，建立图示空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， .
(1) (2)利用 ，其中 分别为两个半平面的法向量，
或利用 求解.
(3)利用 ，其中 为平面 的法向量。
20.(1) ，∴ ①
又 ，∴ ，即 ②
由①②得 ， .又 时，①、②不成立，故 .------2分
∴ ，设x1、x2是函数 的两个极值点，则x1、x2是方程 =0的两个根， ，
∴x1+x2= ，又∵ A、O、B三点共线， = ，
∴ =0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2= ，∴b=0. ----------------6分
(2) 时， ， -----------------------7分
由 得 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减， . ---------------------9分
①由 得 的值为1或2.(∵ 为正整数) -----------------11分
② 时，记 在 上切线斜率为2的切点的横坐标为 ，
则由 得 ，依题意得 ，
得 与 矛盾.
(或构造函数 在 上恒正)
综上，所求 的值为1或2. -----------------------14分
21.(1)∵ 为正数， ①， =1，∴ >0(n∈N*)，……… 1分
又 ②，①—②两式相减得 ，
∴ 与 同号， ---------------------4分
∴ 对n∈N*恒成立的充要条件是 >0. ---------------------7分
由 = >0，得 >7 . ---------------------8分
(2)证法1：假设存在 ，使得对任意正整数 都有 .
则 ，则 >17 . --------------------9分
另一方面， = = ，---------11分
∴ ， ，……， ，
∴ ，∴ = ， ①
--------------------------------14分
当m>16时，由①知， ，不可能使 对任意正整数n恒成立，
--------------------------------15分
∴m≤16，这与 >17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 .
--------------------------------16分
(2)证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都有 .
则 ，则 >17 . --------------------9分
另一方面， ， ------------------11分
∴ ， ，……， ，
∴ ， ① -----------------14分
当m>16时，由①知， ，不可能使 对任意正整数恒成立，
--------------------------15分
∴m≤16，这与 >17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 。 -----------------------------16分
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