2011年中招考试：《初中数学》竞赛训练题(4)
数学竞赛训练题四
一.选择题
1.设全集 = ， ， ，则 等于
A. B. C. D. 2. 的展开式中，含有 的正整数次幂的项共有
A.4项 B.3项 C.2项 D.1项
3.高三(10)班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
甲 |
122 |
120 |
125 |
116 |
120 |
117 |
|
乙 |
118 |
125 |
120 |
122 |
115 |
120 |
仅从这6次考试成绩来看，甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是
A.甲稳定 B.乙稳定 C.甲与乙一样稳定 D.不能确定
4.设 为不同的平面， 为不同的直线，则 的一个充分不必要条件是
A. B. C. D. 5.在 中，已知 ，则
A. . B. .
C. D. 6.已知定义在R上的函数 满足下列三个条件：
①对任意的x∈R都有 ②对于任意的 ，都有 ③ 的图象关于y轴对称. 则下列结论中，正确的是
A. B.
C. D. 7.A、B、C、D、E五个人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B，C两人要住编号相邻房间的住法种数为
A.24 B.36 C.48 D.60
8.椭圆 的中心、右焦点、右顶点、右准线与 轴的交点依次为O、F、A、H，则 的最小值为
A.2 B.3 C. 4 D.不能确定
9.某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是
A. B. C. D. 10.设方程 的两根为 ， ( < )，则
A. B. C. D.
二、填空题
11.在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的周长为 ▲ .
12.已知函数 的图象与直线 的交点中最近的两点间的距离为 ，则函数 的最小正周期等于 ▲
13.球O上两点A、B间的球面距离为 ， 有一个内角为 ，则此球的体积是 ▲ .
14.已知双曲线的两条渐近线的夹角为 ，则其离心率为 ▲ .
15.若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 ▲ .
16.已知函数 ( )，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2.定义 是函数 的值域中的元素个数，数列 的前n项和为 ，则满足 的最大正整数n= ▲ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 中，角A、B、C所对的边分别为 、 、 ，已知 (1)求 的值; (2)求 的面积。
18. 已知 ,点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在直线 上，且满足 ， 。
(1)当点 在 轴上移动时，求 点的轨迹 的方程;
(2)设 为轨迹 上两点， ， ， ，若存在实数 ，使 ，且 ，求 的值。
19.如图，已知正三棱柱 中， ， ，三棱锥 中， ，且 。
(1)求证： ;
(2)求二面角 的大小;
(3)求点 到平面 的距离。
20.设函数 ，已知 ，且 (a∈R，且a≠0)，函数 (b∈R，c为正整数)有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。
(1)试求a、b的值;
(2)若 时，函数 的图象恒在函数 图象的下方，求正整数 的值。
21.已知数列{an}满足 ， ， ， 为正数 .
(1)若 对 恒成立，求m的取值范围;
(2)是否存在 ，使得对任意正整数 都有 ?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由。
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