数 学
一、课程理念、教育教学原则
（一）彰显育人价值
初中数学课程应全面贯彻党的教育方针，落实《国家中长期教育改革和发展规划
纲要（2010—2020 年）》和教育部《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的
意见》的有关要求；以《义务教育数学课程标准（2011 版）》为依据，按照德育为先、
能力为重、面向全体、个性发展的总要求，正确处理好面向全体学生与关注学生个体
差异的关系，以学生发展为本，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数
学上得到不同的发展；遵循学生身心发展规律，结合数学学科特点，有机融入社会主
义核心价值观教育和中华优秀传统文化教育，有意识地引导学生了解数学与人类发展
的相互作用，体会数学的科学价值、文化价值和应用价值，体会数学对于人类文明发
展的贡献，培养学生的理性精神和科学精神，形成正确的世界观、人生观和价值观，
充分彰显“数学育人”的价值。
（二）发展核心素养
初中数学教学要以发展学生数学核心素养为导向，帮助学生学会用数学眼光观察
世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界。要创设有利于学生数学核心素养
发展的教学情境，引导学生把握数学本质，感悟数学思想。要根据数学学科的特点，
发展运算能力、推理能力、空间观念、数据分析观念和模型思想，注重发展学生的应
用意识和创新意识，关注数学概念的理解和解释，关注数学规则的选择和运用，关注
数学问题的发现与解决，关注知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等目标的整
体实现，使学生学会用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世
界。通过初中数学学习，学生应能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础
知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；能体会数学知识之间、数学与其他学科
之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题
的能力、分析和解决问题的能力；了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好
数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。
（三）突出数学本质
初中数学应注重知识与素养两条主线的交融、协调，从整体上把握教学内容，突
出数学本质，发挥各种能力和思想方法对初中数学知识的统摄作用，保持能力发展的
逻辑连贯性和思想方法的前后一致性。教学时要凸显不同知识、不同单元之间存在的
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实质性联系，关注内容主线之间的关联以及同一个内容主线中重要知识点之间的关
联。注重知识背后的数学思想、方法的贯通，注重形、数之间的结合，引导学生进行
学习内容逻辑线索的梳理，强化在数学实践活动中综合运用数学知识的能力。对重要
的数学概念、定理以及思想方法要体现循序渐进、螺旋上升的原则，从整体性上形成
解决问题的策略。
（四）关注学习过程
问题驱动、指引、贯穿了学生的数学学习过程。序列问题有助于引导学生了解知
识的来龙去脉，经历知识的发生发展的过程，从而形成对概念、原理等的深刻理解，
对过程中蕴涵的数学思想的体会与感悟，有助于发展学生的问题意识、探索精神。教
师进行教学设计时，应根据教学目标、教学内容、教学重点及难点，把主要学习内容
转换成一个个有序的、层层递进的教学问题。问题应设置在学生思维的最近发展区。
同时还应设置适当的发散性问题，培养学生的发散思维和创新能力。实际教学要激发
学生兴趣，调动学生积极性，注重启发式，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，
正确处理好“预设”与“生成”的关系、合情推理与演绎推理的关系，培养学生良好
的数学学习习惯，指导学生掌握恰当的数学学习方法。
（五）融合信息技术
信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响，
改变了人的交流方式和学习方式。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影
响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问
题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索
性的数学活动中去。信息技术是手段，要服务于数学的课程目标。信息技术应用于数
学课堂，使数学交流更适时、便捷，数学探究更直观、形象。要利用信息技术丰富学
生的学习方式、促进数学理解，提高学习效率，教学中恰时恰点地应用信息技术，积
极发挥信息技术在建构数学概念、发现数学结论、突破学习难点、改进教学方式、培
养数学表达、传播数学技术等方面的作用。
（六）建立多元评价
学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习
和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的
结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活
动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。切实关注基础知识和
基本技能的评价、数学思考和问题解决的评价、情感态度的评价，注重对学生数学学
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习过程的评价，体现评价主体的多元化和评价方式的多样性，恰当地呈现和利用评价
结果，合理设计与实施书面测验。书面测试命题要减少单纯记忆、机械训练性质的内
容，增强与学生生活、社会实际的联系，注重考查学生综合运用所学知识分析问题和
解决问题的能力，增强与学生生活、社会实际的联系。通过各种评价得到的信息，了
解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改进教
学内容和教学过程。
二、课程实施
（一）课程开设、课时安排等要求 初中数学设置了“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”四个 部分的课程内容。第三学段七、八、九年级数学课每周均开设 5 课时，三年共 592 课 时。其中“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关数学的知识与方法 解决实际问题，培养学生的问题意识，应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，
提高学生解决现实问题的能力。
综合与实践是一类在教师指导下，以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活 动。“综合与实践”的活动可以渗透在数与代数、图形与几何、统计与概率等知识的教 学中，也可以单独以课题活动形式开展活动。各地应该保证每学期至少开展一次以课
题活动为主的综合与实践活动，这种活动综合与实践可以在课堂上完成，也可以课内
外相结合。
（二）教学要求
数与代数 数与式
内容标准 教学要求 教学建议
1．有理数
（1）理解有理数的意义。
①通过具体案例说明引入有理数的必要性； ②通过具体实例理解相反意义的量的含义； ③用规范的数学符号表述具有相反意义的量； ④正确地读、写正数与负数； ⑤正确理解“0”的两种意义（“没有”、“临界”）； ⑥能对有理数进行正确的分类。
（2）能用数轴上的点表示 有理数。
①会用文字语言、符号语言解释、表述数轴的意义； ②通过学生熟悉的实例引入数轴，引导学生正确地画数轴 （掌握三要素：原点、正方向、单位长度）； ③能用数轴上的点表示有理数； ④能发现数轴上的点与有理数的对应关系，并能应用这种对 应关系。
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内容标准 教学要求 教学建议
（3）能比较有理数的大小。
①通过实例引导学生概括有理数的大小比较法则的要点； ②能应用法则比较有理数的大小，能借助数轴比较有理数的 大小。
（4）借助数轴理解相反数 的意义，掌握求有理数的相 反数的方法。
①会用文字语言、符号语言、图形语言解释相反数的意义， 初步了解数学三种语言的互译。如 b a、 互为相反数等价于 0 ba ； ②借助数轴用点表示相反数：两个互为相反数（除 0 外）在 数轴上所表示的对应点，是在原点两旁，并且到原点距离相 等，即两个互为相反数在数轴上表示的点关于原点对称； ③能正确、迅速地求常数或字母的相反数，如数a的相反数 是 a  。
（5）借助数轴理解绝对值 的意义，掌握求有理数的绝 对值的方法，知道 a 的含 义（这里 a 表示有理数）。
①会用文字语言、符号语言、图形语言解释、表述绝对值的 意义。理解绝对值的代数意义和几何意义； ②能应用绝对值的意义求一个有理数的绝对值； ③已知一个有理数的绝对值，会求出这个有理数的值。 在有理数有关概念教学过程，要适时、适当的渗透数学思想。如：有理数两种分类标准的 对比、相反数概念、绝对值概念、有理数大小比较法则等内容教学中，体现分类思想；借 助数轴的教学体会数形结合思想。在有理数分类、有理数与数轴关系中，渗透集合与对应 思想。
（6）掌握有理数的加法运 算。
①通过实例（如：在一条直线的两次运动；净胜球计算等）
探究，了解加法法则的兼容性、合理性； ②通过典型加法运算例子概括加法法则的要点； ③能应用加法法则正确、迅速地进行有理数加法运算。
（7）掌握有理数的减法运 算。
①通过对具体实例的归纳，理解有理数的减法法则，初步了 解化归与转化思想； ②能用文字语言、符号语言准确地表述法则； ③能应用有理数加、减法则和加法运算律正确、迅速地进行 有理数加、减法的混合运算。
（8）掌握有理数的乘法运 算。
①通过类比、归纳研究有理数的乘法，了解乘法法则的兼容 性、合理性； ②通过典型乘法运算例子概括乘法法则的要点； ③能应用乘法法则正确、迅速地进行有理数乘法运算。
（9）掌握有理数的除法运 算。
①通过求一个非 0 数的倒数，理解倒数的概念； ②通过对具体实例的归纳，理解有理数的除法法则，进一步 了解化归与转化思想； ③能应用有理数乘、除法则和乘法运算律正确、迅速地进行 有理数除法运算及乘、除法的混合运算。
（10）理解乘方的意义。
①通过从特殊到一般的抽象过程，引导学生理解乘方、幂、 底数、指数的意义； ②了解乘法和乘方，乘方和幂之间的关系；
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内容标准 教学要求 教学建议 ③能正确读、写“乘方”或“幂”，能清楚辨析出乘方的底数和 指数，能分清含有幂的形式表示的代数式的运算顺序，并能 正确表述； ④能应用乘方的意义正确、迅速地进行有理数的乘方运算。
（11）掌握有理数的加、减、 乘、除、乘方的简单混合运 算（以三步以内为主)。理 解有理数运算律，能运用运 算律简化运算。
①通过具体有理数运算例子，掌握有理数运算的顺序； ②能用符号语言准确地表示运算律，并解释定律表达式两侧 表示的运算顺序； ③能应用有理数运算法则，用规范的格式书写，正确、迅速 地进行有理数的加、减、乘、除、乘方简单的混合运算（以 三步以内为主)。 ④能运用运算律简化有理数运算，提高有理数混合运算能 力。
（12））能运用有理数的运 算解决简单的问题。
①能根据实际的问题列出相应的运算式并能正确地运算； ②能依据算式、运算的结果对简单的实际问题进行定量、定 性分析； ③适当控制应用题的难度，借助应用题教学提高学生的阅读 能力和审题能力。 1.有理数运算是后续所有代数学习的基础，在教学中要注意与小学的同类运算类比衔接。 2.有理数运算过程重在引导学生理解算理和算法，养成先观察、分析算式的结构特征，建 立数感、符号意识，然后再选择简便方法进行计算的解题习惯，优化运算策略。 3.应该在每一个恰当的时候都让学生感受有理数运算的封闭性与合理性。
2．实数
（1）了解平方根、算术平 方根的概念，会用根号表示 数的平方根、算术平方根。
①通过生活实例引导学生理解算术平方根、被开方数的概 念； ②能用文字语言和符号语言正确表示一个非负数的算术平 方根； ③了解平方根、二次方根、开平方的概念； ④能用文字语言和符号语言表述一个非负数的平方根； ⑤理解二次根号所代表的运算；理解一个正数的两个平方根 之间的关系。
（2）了解立方根的概念， 会用根号表示数的立方根。
①通过具体情境帮助学生了解立方根、开立方、根指数的概 念； ②能用文字语言和符号语言正确表示一个数的立方根，并实 现二者的相互转化； ③理解三次根号所代表的运算。
（3）了解乘方与开方互为 逆运算，会用平方运算求百
以内整数的平方根，会用计
算器求平方根。
①在具体的数的平方与平方数的开平方运算中，了解开平方 与平方互为逆运算； ②会用平方运算求 100 以内整数的平方根。 ③通过乘方与开方的互逆运算关系，进一步体会化归与转化 思想。 （4）会用立方运算求百以 ①了解开立方与立方互为逆运算；
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内容标准 教学要求 教学建议
内整数（对应的负整数）的 立方根，会用计算器求立方 根。
②会用立方运算求 100 以内整数（0～100 之间整数）的立方 根。
（5）了解无理数和实数的 概念，了解实数与数轴上的 点一一对应。
①了解无理数和实数的概念，了解数系从有理数扩充到实数 的必要性； ②通过将正无理数在数轴上表示引出负无理数，了解无理数 与有理数的区别，并与有理数进行类比学习； ③能对实数进行正确两种分类； ④知道实数与数轴上的点一一对应。
（6）能求实数的相反数与 绝对值。
①能求常数（实数）的相反数与绝对值； ②能求字母（实数）的相反数。
（7）能用有理数估计一个 无理数的大致范围。
①熟记 2≈1．414， 3≈1．732； ②能根据要求用有理数估计一个无理数的大致范围； ③能正确比较两个实数的大小； ④通过估算，培养学生估算意识和能力，从而发展数感。
（8）了解近似数的概念； 在解决实际问题中，能用计 算器进行近似计算，并按要 求对结果取近似值。
①通过具体实例了解近似数的概念； ②能按要求对结果取近似值； ③能用计算器进行近似计算。
（9）了解二次根式的概念， 借助现实情境了解代数式。
①认识二次根式：a（a≥0） ，用规范格式书写二次根式； ②能用不等式说明当 a≥0 时， a在实数内有意义； ③了解 a≥0（a≥0）及( a)2 ＝a（a≥0）的意义； ④了解二次根式的性质 a2＝a（a≥0）；
（10）了解二次根式（根号 下仅限于数）乘、除运算法 则，会用它们进行有关的简 单运算。
①了解二次根式乘、除运算法则的合理性； ②掌握法则操作的步骤； ③能正确、迅速地进行简单二次根式的乘、除的运算。
（11）了解最简二次根式的 概念。
①会判断化简的结果是否为最简二次根式； ②在二次根式的运算中，能将运算的结果化为最简二次根 式。
（12）了解二次根式（根号 下仅限于数）加、减运算法 则，会用它们进行有关的简 单运算。
①在具体的二次根式加、减运算中，了解二次根式加、减运 算法则的合理性； ②掌握运用法则操作的步骤； ③能综合运用法则进行简单二次根式的混合四则运算。 ④能运用多项式相乘（乘法公式）的法则计算有关二次根式 的问题，理解实数之间可以进行四则运算，理解有理数的运 算法则及运算律在实数的范围内的适用性； ⑤二次根式运算顺序教学可以类比实数和有理式的运算。
3．代数式
（1）借助现实情境了解代 数式，进一步理解用字母表
①通过分析简单问题中的数量关系，了解代数式的意义； ②通过实施加、减、乘、除和乘方等代数运算，理解用字母
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内容标准 教学要求 教学建议
示数的意义。 表示数的意义，进而理解代数的本质特征； ③在理解符号所代表的数量关系中，培养抽象概括的思维方 法。
（2）能分析具体问题中的 简单数量关系，并用代数式 表示。
①能识别代数式，并根据条件用规范的数学符号写出代数 式； ②结合简单的实际情境，了解数量关系，并能用字母表示； ③通过用代数式表示数量关系，提升数感与符号意识。
（3）会求代数式的值；能根 据特定的问题查阅资料，找 到所需要的公式，并会代入 具体的值进行计算。
①在求给定的代数式的值中，了解代数式的值的意义； ②能正确、熟练地对化简后的代数式，进行代入求值运算； ③能对特定问题查阅资料，查找公式，代入求值运算。并对 结果进行定量、定性分析。
4．整式与分
式
（1）了解整数指数幂的意 义和基本性质，会用科学记 数法表示数（包括在计算器 上表示）。
①通过实例了解同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算、积的 乘方运算的意义； ②举例说明基本性质的合理性； ③能用文字语言和符号语言准确表述基本性质，归纳基本性 质的操作步骤,并能根据题目的结构特征应用基本性质，能顺 用、逆用同底数幂的乘法、幂的乘方运算、积的乘方基本性 质解决相关问题； ④理解科学记数法的意义； ⑤会用科学记数法表示一个数； ⑥应用字母探求规律和代数式求值时，注意整体思想方法的 应用。
（2）理解整式的概念。
①通过熟悉的实例，体会单项式的系数、次数； ②能概括出文字语言中的数量关系，并用单项式表示； ③能用实例解释单项式的意义； ④能举例说明多项式的项、常数项、多项式的次数； ⑤能概括出文字语言中的数量关系，并用多项式表示； ⑥能依据整式概念对整式进行分类； ⑦能概括出文字语言中的数量关系，并用整式表示。
（3）掌握合并同类项的法 则。
①能依据同类项的意义判定两个单项式是否是同类项； ② 能从“运算”的角度解释“合并同类项”的意义； ③能应用合并同类项法则正确、迅速合并同类项。
（4）掌握去括号的法则。
①能用符号语言、文字语言解释去括号法则； ②能应用去括号法则熟练、准确地化简整式。
（5）会进行简单的整式加 法和减法运算。
①理解整式加减运算本质就是掌握合并同类项，了解整式加 减运算的必要性； ②能应用整式加减运算法则和运算律正确、迅速地进行简单 的整式的加减运算； ③能用规范的格式书写整式的加减运算过程； ④能用整式加减法解决简单实际问题。
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内容标准 教学要求 教学建议
（6）能进行简单的整式乘 法运算（其中多项式相乘仅 指一次式之间以及一次式 与二次式相乘）。
①能用符号语言解释单项式与单项式、单项式与多项式、多 项式与多项式乘法运算法则； ②了解法则的产生过程，体会算理的合理性； ③能归纳法则的操作步骤,熟练准确地进行单项式与单项式、 单项式与多项式、多项式与多项式乘法运算，能利用整式运 算法则和运算律正确、迅速进行简单的整式乘法的运算。
（7）能进行简单的整式除 法运算。
①通过实例了解同底数幂的除法运算的意义； ②在运算中了解零指数幂与负指数幂运算的意义，明确规定 的合理性； ③能用符号语言解释单项式除以单项式、多项式除以单项式 运算法则； ④能归纳法则的操作步骤,熟练准确地进行整式除法运算，能 正确、迅速进行简单的整式除法的运算。
（8）能推导乘法公式： (a ＋ b)(a － b)=a2 － b2 ； (a±b)2=a2±2ab＋b2,了解公
式的几何背景，并能进行简
单计算。
①经历乘法公式的产生过程，能文字语言准确地表述乘法公 式； ②通过简单的图形计算，了解乘法公式的几何背景； ③能运用平方差公式、两数和（差）的平方公式准确地进行 运算； ④能灵活运用平方差公式、两数和（差）的平方公式对代数 式进行恒等变形及代数式求值； ⑤在乘法公式的产生过程中初步感受从一般到特殊的思想。
（9）会用提公因式法、公 式法（直接利用公式不超过 二次）进行因式分解（指数 是正整数）。
①举例说明多项式各项的公因式； ②会用提公因式法、公式法（直接使用公式不超过二次）进 行因式分解。
1．在整式的运算与实数的运算类比中，进一步体会类比思想； 2．在去括号与添括号，“多项式×多项式→单项式×多项式→单项式×单项式→同底数幂的 乘法”，因式分解与多项式相乘等的对比运算过程体会化归与转化思想； 3．在解决整式运算与因式分解的问题时，要养成先观察、分析已知式的结构特征，而后 再灵活选用适当方法（或公式）解题习惯。解决问题过程重在理解算理算法，提高运算能 力。
（10）了解分式和最简分式 的概念。
①能识别给定的代数式是整式还是分式； ②会根据分式有（无）意义列出方程（组）或不等式（组）， 确定字母的取值范围； ③会识别一个分式是否是最简分式； ④能用分式表示具有实际背景的问题中有关数量关系。
（11）能利用分式的基本性 质进行约分和通分。
①通过类比分数的基本性质引导学生掌握分式的基本性质； ②能用文字语言与符号语言解释分式的基本性质； ③了解最简公分母的意义； ④会 ④通过类比分数的约分和通分，能用分式的基本性质正确地
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内容标准 教学要求 教学建议
进行分式约分和通分运算。
（12）能进行简单的分式 加、减、乘、除运算。
①类比分数运算法则，体会分式运算法则的合理性； ②能用分式的加、减、乘、除的运算法则进行简单的分式的 加、减、乘、除的运算； ③在具体的分式混合运算中，理解分式运算正确顺序； ④能对分式（不超过 2 个）进行恒等变换后，求代数式的值。
方程与不等式
内容标准 教学要求 教学建议
1．方程与
方程组
（1）掌握等式的基本性 质。
①通过具体案例了解方程、一元一次方程的概念； ②通过具体实例了解方程解的概念，能正确检验一个数是否 是方程的解； ③掌握等式的基本性质； ④能应用等式的基本性质完成等式的恒等变形，并说明变形 所蕴含的算理； ⑤作为解方程依据的等式基本性质（本质是方程同解原理）， 教学中要潜移默化渗透这种代数推理思想。
（2）能解一元一次方程。
①通过具体的实例帮助学生体会移项的意义并会正确地、迅 速地移项； ②能按照步骤解数字系数的一元一次方程。要加强“移项”依据 教学，为后续说明每个步骤的依据教学奠基。 ③解方程是程序化过程，教学过程中要注意适时总结解一元 一次方程程序（步骤），并要对结构复杂程度不同方程，安排 相应的固化练习，让解方程成为自动化操作过程； ④要让学生通过对方程变形是否正确的辨析和结果是否正确 的验证，感受方程变形中应该注意的算理算法，提高运算的 正确率，体会转化的数学思想。
（3）能解可化为一元一次 方程的分式方程。
①总结分式方程的特征，解释方程有（无）解的意义，说明 验根的必要性； ②掌握可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超 过 2 个）的解法； ③解分式方程的基本思想是把含有未知数的分母去掉，将分 式方程转化为整式方程来解，在解方程的过程中进一步体会 “转化”的数学思想方法； ④解分式方程可能会出现增根，必须进行检验，要让学生理 解增根产生的原因，体会检验的必要性，并会进行检验。
（4）掌握代入消元法和加 减消元法，能解二元一次 方程组。
①能通过实例说明二元一次方程、二元一次方程组； ②能区分给定的一元一次方程与二元一次方程，二元一次方 程与二元一次方程组； ③通过具体实例理解二元一次方程（组）的解的概念；
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内容标准 教学要求 教学建议
④能正确检验一组未知数的值是否是方程（组）的解； ⑤已知一个二元一次方程，能用其中一个未知数表示另一个 未知数； ⑥能应用“代入消元法”和“加减消元法”解二元一次方程组，并 能说明运算的算理； ⑦能根据题目的特征，灵活选用“代入法”或“加减法”解二元一 次方程组； ⑧解方程组中的本质是“消元”，要在解方程组过程中体会“消 元”的目的。而代入消元法在后继的学习中还会经常用到，所 以要强化对代入消元法理解与掌握。
（5）*三元一次方程组
①通过具体实例了解三元一次方程组的概念； ②掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路； ③会解简单数字系数的三元一次方程组。
（6）理解配方法，能用配 方法解数字系数的一元二 次方程。
①通过具体实例了解一元二次方程的概念，能将一元二次方 程化为一般形式，并在一般式中识别二次项系数、一次项系 数、常数项； ②能在一元二次方程配方过程中，归纳、概括配方法的要点； ③能应用配方法解简单数字系数的一元二次方程； ④配方法是研究二次型问题（二次方程、二次不等式、二次 函数）的常用方法，要懂得配方法、数学的化归与转化思想 及其所渗透的思维多向性有助于学生思维能力的培养。
（7）能用公式法解数字系 数的一元二次方程。
①通过具体实例操作，了解求根公式的推导过程，感知参数 限制条件的必要性； ②解释求根公式中各个字母的意义； ③掌握用公式法解数字系数的一元二次方程，体会求根公式 的通用性。
（8）能因式分解法解数字 系数的一元二次方程。
①说明用因式分解法解一元二次方程的道理； ②掌握用因式分解法解数字系数的一元二次方程； ③能根据一元二次方程结构特征，选择合适的方法解方程。
（9）经历估计方程解的过 程。
①通过具体实例让学生经历“用观察、画图或计算器等手段估 计方程解”的过程； ②能用“观察—检验”法估计方程的解； ③通过具体案例培养估计的意识与能力，发展数感。
（10）能用一元二次方程 的根的判别式判别方程是 否有实根和两个实根是否 相等。
①理解根的判别式对于判别一元二次方程是否有实根的意 义； ②能用根的判别式判断数字系数的一元二次方程根的情况；
（11）*了解一元二次方程 的根与系数的关系。
①通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系； ②能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根 之积。
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内容标准 教学要求 教学建议
（12）能根据具体问题中 的数量关系列出方程，体 会方程是刻画现实世界数 量关系的有效模型。
①能解释应用题的背景材料中的“术语”的意义；理解常见的术 语——增长率、打折等； ②能在以实际为背景的问题中读懂信息，用文字表示数量关 系；并且能根据具体问题中的数量关系列出方程（组） ，体会 方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型； ③能用规范的格式完成列方程（组）解应用题的过程； ④能依据方程的解对简单的实际问题进行定量、定性分析； ⑤要重视找等量关系这一过程的练习，提高对实际问题中数 量关系的分析和列方程的能力。
（13）能根据具体问题的 实际意义，检验方程的解 是否合理。
①能检验方程（组）的解是否符合问题的实际意义； ②能判断用方程（组）解决的实际问题是否有解；
2．不等式 与不等式 组
（1）结合具体问题，了解 不等式的意义。
①能举例解释不等式的意义； ②能区分不等式与方程； ③能举例解释不等式的解与解集的意义； ④通过具体实例了解不等式解集与不等式解的关系； ⑤对一个确定的不等式，能检验某个数是否是该不等式的解； ⑥通过具体实例让学生尝试、检验、探索，初步体会不等式 的解与方程的解之间的区别。
（2）探索不等式的基本性 质。
①借助实验的结果，归纳、概括出不等式的基本性质； ②会用数学符号解释不等式的基本性质； ③能应用不等式的基本性质进行不等式的恒等变形。
（3）能解数字系数的一元 一元一次不等式一次不等式，并能在数轴上 表示出解集。上表示出解集。
①会解数字系数的一元一次不等式； ②能总结解数字系数的一元一次不等式的一般步骤，并能说 明每个步骤的依据； ③能在数轴上表示出一元一次不等式的解集； ④能用符号语言解释在数轴上表示的一元一次不等式的解集。
（4）会用数轴确定由两个 一元一次不等式组成的不 等式组的解集。
①通过具体实例了解不等式组解集的意义； ②能总结两个简单的一元一次不等式组成的不等式组的求解 步骤，并能说明每个步骤的依据； ③会解两个简单的一元一次不等式组成的不等式组； ④会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
（5）能根据具体问题中的 数量关系，列出一元一次 不等式，解决简单的问题。
①能解释问题中表示不等关系的“术语”； ②能在以不等式为背景的实际问题中读取信息并用符号表示 其数量关系； ③能用规范的格式完成列一元一次不等式解应用题的过程； ④能依据一元一次不等式的解对简单的实际问题进行定量、 定性分析； ⑤能根据实际问题的要求确定不等式的解集。
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内容标准 教学要求 教学建议 1．关注不等式与方程的内在联系，类比方程进行不等式的教学，并比较其异同； 2．通过比较不等式（组）的解集与方程（组）的解的异同，渗透集合思想；通过指导学 生观察不等式的解集在数轴上的对应范围，渗透数形结合思想；通过在现实问题中建立不 等式，渗透模型思想； ３．有实际背景的题目要控制难度，最重要的是帮助学生建立不等意识，学习将实际问题 数学化。 要鼓励学生寻求解法多样化，对某些实际问题学生也可以用方程、函数知识解 决。 （注：一元一次不等式组的应用题不要求）
函数
内容标准 教学要求 教学建议
1．函数
（1）探索简单实例中的数 量关系和变化规律，了解常 量、变量的意义。
①能在实际背景或关系式中了解常量、变量的意义； ②会在简单的变化过程中辨别常量和变量； ③会用含一个变量的代数式表示另一个变量。
（2）结合实例，了解函数 的概念和三种表示法，能举 出函数的实例。
①通过典型、丰富的实例归纳函数概念，知道“函数”是依赖 于“一个变化过程”而存在的； ②在实例中了解自变量、因变量、函数值的概念，能辨别函 数关系式中的自变量与因变量；会求函数值； ③结合实例了解函数的三种表示方法（关系式法、列表法、 图像法）及其优缺点。
（3）能结合图像对简单实 际问题中的函数关系进行 分析。
①通过具体实例了解图像的意义，能从图像中获得有关常量 与变量的信息； ②能描述点坐标在实际问题中的意义； ③能用生活情境解释简单的函数图像。
（4）能确定简单实际问题 中函数自变量的取值范围， 并会求出函数值。
①能结合问题的实际意义直接写出自变量取值范围； ②能从简单实际问题或图像信息中找到变化过程的起点和 终点直接写出自变量的取值范围； ③会确定关系式中含简单的整式、分式的自变量取值范围 （在关系式式中最多只有一个分式）； ④会求函数值。
（5）能用适当的函数表示 法刻画简单实际问题中变 量之间的关系。
①能从数与形的角度分析简单实际问题中变量之间的关系， 并选择适当的方法表示函数关系； ②掌握用描点法画函数图像的基本步骤。
（6）结合对函数关系的分 析，能对变量的变化情况进 行初步讨论
①通过图像和表格中数值的变化规律，对变量的变化情况进 行初步讨论； ②结合对函数关系式中数量关系的分析，判断自变量和函数 值之间的变化情况。
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内容标准 教学要求 教学建议
教学中要紧扣函数概念本质——“单值对应”关系进行。重视从函数思想角度进行函数概念 教学，把静止的关系式（或曲线、表格）看作动态的变化过程，使学生从原来的常量、代 数式、方程和算式的静态的关系中逐渐过渡到变量、函数这些表示量与量之间动态的关系 上，实现学生的认识由静态到动态的飞跃。
2．一次函数
（1）结合具体情境体会一 次函数的意义，能画出一次 函数的图像。理解正比例函 数。
①借助实际问题情景建立一次函数关系式，体会正比例函数 和一次函数的意义； ②通过画图实验发现一次函数（正比例函数）的图像是一条 直线； ③会用两点法画一次函数（正比例函数）的图像； ④从关系式的区别与联系中，理解正比例函数是一次函数的 特例；从关系式与图像中，弄清一次函数与正比例函数的关 系。
（2）能根据已知条件确定 一次函数的关系式。会利用 待定系数法确定一次函数 的关系式。
①能根据实际问题中数量关系直接列出一次函数关系式； ②在已知点坐标或图像的条件下能用待定系数法确定一次 函数关系式；
（3）根据一次函数的图像 和关系式 y=kx+b(k≠0)探索 并理解 k＞0 和 k＜0 时，图 像的变化情况。
①通过具体的正比例函数图像，引导学生从“形”的角度理解 正比例函数的性质，掌握用图像语言、文字语言和符号语言 三种方式表示正比例函数的性质，并能实现三种语言的相互 转化。如：“当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大”这句话表示三 个条件：k＞0，x1＜x2，y1＜y2。”“当 k＞0 时，y 随 x 的增大 而增大”与这时“函数图像从左到右上升”是等价的； ②类比正比例函数，引导学生从“形”的角度理解一次函数的 性质，能用图像、文字和符号语言三种方式表示一次函数的 性质，并能实现三种语言的相互转化； ③结合图像理解一次函数 y=kx+b(k≠0)中 k，b 与图像之间的 关系； ④能根据 k，b 的范围画出直线的示意图，并能根据直线位 置确定 k，b 的取值范围； ⑤结合图像，从“形”的角度理解函数 y=kx(k≠0)的图像与函数 y=kx+b(k≠0)的图像的位置关系（平行，上、下平移 b 个单 位长度）； ⑥对于给定的直线，能根据平移（只要求上、下平移）的要 求，求出对应直线的关系式。
（4）体会一次函数与二元 一次方程的关系。
①通过具体实例体会一次函数图像上的每一个点的坐标与 二元一次方程的一组解之间的关系； ②通过具体实例理解一次函数交点坐标与二元一次方程组 的解之间的关系，能用求二元一次方程组的解的方法求两个 一次函数图像的交点坐标。
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内容标准 教学要求 教学建议
（5）能用一次函数解决简 单实际问题。
①通过实际情境引导学生能用一次函数刻画某些实际问题 中变量之间的关系（若遇到分段函数，不必要求用一个综合 的关系式表示）； ②能确定问题情境中函数自变量的取值范围，并画出相应函 数的图像； ③根据自变量的实际意义，会求出一次函数的值； ④通过实例能结合一次函数的图像对简单实际问题中的函 数关系进行分析。
3．反比例函 数
（1）结合具体情境体会反 比例函数的意义，能根据已 知条件确定反比例函数的 关系式。
①借助实际问题情景建立反比例函数关系式，体会反比例函 数的意义； ②能根据实际问题中数量关系直接列出反比例函数关系式； ③能用待定系数法确定反比例函数关系式。
（2）能画出反比例函数的 图像，根据图像和关系式 y= k x (k≠0)探索并理解 k＞0 和 k＜0 时，图像的变化情 况。
①通过具体的关系式引导学生选取一定数量的对应点，用描 点法画反比例函数在某一象限内的图像； ②通过具体的反比例函数图像，结合关系式引导学生能从反 比例函数关系式取值特征来分析反比例函数图像的特征； ③通过画图实验探索并理解 k＞0 或 k＜0 时，图像的变化情 况，掌握用文字、符号和图形三种语言方式表示反比例函数 的性质，并能实现三种语言的相互转化，从 “形”与“数”两个 角度说明在每一象限内反比例函数的增减性； ④通过具体的反比例函数引导学生根据图像位置确定 k ＞0 或 k ＜0； ⑤结合反比例函数 y=k x (k≠0)的图像理解反比例函数关系式 中 k 的几何意义。
（3）能用反比例函数解决 简单实际问题。
①能用反比例函数刻画某些实际问题中变量之间的关系； ②能根据实际问题情境画反比例函数的图像； ③能用反比例函数的有关知识对实际问题进行定性或定量 的分析。
4。二次函数
（1）通过对实际问题的分 析，体会二次函数的意义。
借助实际问题情景建立二次函数关系式，了解二次函数的有 关概念。
（2）会用描点法画出二次 函数的图像，通过图像了解 二次函数的性质。
①通过描点法画图实验发现二次函数的图像是抛物线；解题 中会用五点（顶点、对称轴两旁各 2 点）法画出二次函数的 示意图； ②结合图像特征，从“形”的角度了解二次函数的性质，知道 用文字、符号和图形三种语言方式表示二次函数的性质； ③对于给定的抛物线，能根据平移的要求，求出对应抛物线 的关系式。
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内容标准 教学要求 教学建议
（3）会用配方法将数字系 数的二次函数的关系式化 为 k hxay   2 )( 的 形
式，并能由此得到二次函数 图像的顶点坐标，说出图像 的开口方向，画出图像的对 称轴，并能解决简单实际问 题。
①结合将具体数字系数的二次函数的关系式化为y=a(x-h)2+k 的形式的过程，学会用配方法； ②运用配方法或公式法求数字系数的二次函数的图像的顶 点和对称轴； ③运用配方法或公式法求数字系数的二次函数的最大（小） 值； ④通过具体二次函数图像了解系数 a,b,c 对二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像位置的影响。
（4）会利用二次函数的图 像求一元二次方程的近似 解。
①通过画具体二次函数图像与 x 轴的交点，学会确定交点横 坐标的近似值； ②通过具体二次函数与一次函数图像，能画出其交点，并确 定交点横坐标的近似值； ③通过具体二次函数图像能通过列表法分析确定相应一元 二次方程的近似解。
（5)* 知道给定不共线三点 的坐标可以确定一个二次 函数。
①会用待定系数法求二次函数关系式； ②依据已知条件的特点，灵活选择二次函数的形式(如一般 式、顶点式等)求函数关系式。
1．每个具体函数概念教学都要舍得花时间、花力气。要注意把握其概念的本质，注意概 念的形成的教学； 2．明确每个函数研究套路“实际问题情境→抽象函数概念→画出函数图像→探索函数性 质→解决实际问题”，知道函数性质研究的内容：自变量取值范围、函数的图像、函数的 增减性等；懂得函数性质研究 “三步曲”——画函数图像，观察归纳特征，数学语言描 述性质； 3．重视函数图像的直观作用，注重数形结合思想在探索函数性质等探究性学习中的应用， 设置一些由函数图像分析实际问题数量关系的练习； 4．引导学生从函数的观点出发理解函数与方程（组）、不等式之间的关系，借助方程（组）、 不等式等工具解决函数的问题。同时从“数”和“形”两个方面审视方程（组） 、不等式，理解 图像与坐标轴的交点、图像与图像的交点、何时函数值大于零或小于零等意义； 5．认识函数图像上点的坐标满足该函数的关系式，坐标满足函数关系式的点在该函数图 像上； 6．通过具体实例引导学生在探究反比例函数的图像和性质的过程中,关注反比例函数图像 与一次函数图像之间的差异性：反比例函数的图像由一条到两支，形态由“连续”到“间断”， 由与坐标轴相交到渐近； 7．注意在函数教学的不同阶段，应有不同的要求，并螺旋上升，例如在一次函数教学中。 重点引导学生积累研究函数的一般经验；在反比例函数教学中，关注用“数”释“形”，以“形” 表“数”。
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图形与几何 图形的性质
内容标准 教学要求 教学建议
1．点、线、 面、角
（1）通过实物和具体模 型，了解从物体抽象出来 的几何体、平面、直线和 点等。
①能在具体的实物中识别相应的体、面、线、点； ②能在平面中按要求画出线、点； ③注意揭示几何概念的抽象性特点，引导学生从现实具体物体 中抽象、归纳出几何图形、立体图形、平面图形、体、面、线、 点等基本的几何概念； ④让学生体验立体图形与平面图形的相互转化。
（2）会比较线段的长短， 理解线段的和、差，以及 线段中点的意义。
①能用刻度尺量出线段的长短； ②会使用圆规比较线段的长短（只要求学生能完成作图即可， 不要求说出作法，但可以鼓励学生用文字语言或符号语言表述 作图过程）； ③理解线段的和、差与线段延长线的关系，并能用符号语言表 示； ④能用符号语言、图形语言表示一条线段的中点； ⑤会结合图形找出（或判断）一条线段的中点； ⑥会求线段中有关中点的简单问题。
（3）掌握基本事实：两 点确定一条直线。
①正确画出过两点的直线； ②理解点与直线的位置关系； ③能用符号语言表示直线； ④理解射线、线段的意义，能用符号语言表示射线、线段； ⑤能画出两条直线相交的图形； ⑥能在图上找出直线相交的交点，并能用字母表示； ⑦清楚“确定”的含义有两方面：存在性和唯一性； ⑧能正确应用“两点确定一条直线”解释生活中的有关现象。
（4）掌握基本事实：两 点之间线段最短。
①体验基本事实的真实性、合理性； ②能用图形语言表示基本事实“两点之间，线段最短”。
（5）理解两点间距离的意 义，能度量两点间的距离。
①能用符号语言、图形语言解释、表述“两点间距离”； ②能用刻度尺度量两点之间的距离。
（6）理解角的概念，能 比较角的大小。
①类比直线、射线、线段的学习进行角的教学； ②能用符号语言表示一个角； ③会用量角器画指定度数的角； ④能用适当的方法比较角的大小（如度量法、叠合法等）； ⑤结合图形，理解角的和、差，并能用符号语言表示； ⑥能用符号语言、图形语言表述角的平分线； ⑦会结合图形画出（或判断）角的平分线。
（7）认识度、分、秒， 会对度、分、秒进行简单 的换算，并会计算角的
①正确读、写不同单位的角； ②能正确地进行角的单位换算； ③能正确地进行角的和、差的运算。如果是角的度数乘以（或
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内容标准 教学要求 教学建议
和、差。 除以）一个数，这个数必须是整数； ④角的叠合抽象出一类角的和、差运算的基本构图，教学中要 设计适当的问题，加强“图形”与“符号”之间的双向互换训练。 1．在运动变化过程中理解角的概念，发现角的两种定义之间的一致性； 2．注重与生活的联系，如几何体、点、线段、角等几何概念从生活中的抽象，及两个基 本事实在生活实际中的解释和应用； 3．关注与小学学习的衔接，在小学基础上再学习，要避免简单重复； 4．注重规范训练，能根据题意画示意图，能初步使用几何语言有条理地表述简单推断、 计算的过程； 5．重视几何语言的培养和训练，既要按照“实物和模型→几何图形→文字表示→符号语言” 的程序进行教学，也应适当关注“符号→文字→图形”的教学过程，促进学生掌握三种语言 的运用与转化。
2．相交线与 平行线
（1）理解对顶角的概念。
①能用图形语言解释对顶角的意义； ②会在图形中找出一个角的对顶角； ③会画一个角的对顶角。
（2）探索并掌握对顶角 的性质。
①发现对顶角之间的数量关系； ②能用文字语言、图形语言、符号语言解释性质。
（3）理解互为余角和补 角的概念。
①能用三种语言解释两角互为余角（补角）； ②发现互余（补）的两角之间的数量关系； ③会规范地读、写一个角的余角（补角）； ④能计算一个角的余角（补角）； ⑤领悟几何证明的规范格式背后所蕴含的道理，从填空或两步 证明开始，由易到难，有序地推进推理教学。
（4）探索并掌握同角（等 角）余角、补角的性质。
①发现同角（等角）余角、补角之间的数量关系； ②能用文字语言、图形语言、符号语言解释性质。
（5）理解垂线、垂线段 等概念，能用三角尺或量 角器过一点画已知直线 的垂线。
①会用数量关系刻画同一平面内两直线特殊的位置关系； ②会用符号规范表示同一平面内两直线垂直的位置关系； ③会识别垂线； ④会在图形中找出垂足； ⑤能熟练运用三角尺、量角器画直角； ⑥能过直线外（上）一点画出已知直线的垂线； ⑦理解垂线与垂线段之间的关系； ⑧能用符号语言、图形语言解释垂线段； ⑨能正确应用“垂线段最短”解释生活中的有关现象。
（6）理解点到直线的距 离的意义，能度量点到直 线的距离。
①发现“点到直线的距离”与“垂线段”之间的关系； ②能用符号语言、图形语言解释点到直线的距离； ③能度量点到直线的距离。
（7）掌握基本事实：过 一点有且只有一条直线 与已知直线垂直。
①体验基本事实的真实性、合理性； ②分析基本事实中的存在性与唯一性。
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内容标准 教学要求 教学建议 （8）识别同位角、内错 角、同旁内角。 ①能结合图形判断两个角是否为同位角、内错角和同旁内角； ②能用实例说明同位角、内错角和同旁内角之间的差别。
（9）理解平行线概念。
①通过实际的例子，感受“平行”的存在，认识“平行”是一种位 置关系； ②能用三种语言解释“平行”； ③在同一平面内，能将两条不重合的直线的位置关系分为相 交、平行两类。
（10）掌握基本事实：两 条直线被第三条直线所 截，如果同位角相等，那 么这两条直线平行。
①通过实验的方式掌握判定两直线平行的基本事实； ②能用三种语言解释该基本事实。
（11）掌握基本事实：过 直线外一点有且只有一 条直线与这条直线平行。
①体验基本事实的真实性、合理性； ②分析基本事实中的存在性与唯一性。
（12）掌握平行线的性质 定理：两条平行直线被第 三条直线所截，同位角相 等。
①通过实验操作的方式得出该性质定理； ②能用三种语言解释定理； ③教学中注意引导学生区分判定和性质。
*（13）了解平行线性质 定理的证明。
①可以通过定理证明，体会反证法的思想； ②根据学情，在教学过程中，可以酌情考虑何时给出该定理的 证明。
（14）能用三角尺和直尺 过已知直线外一点画这 条直线的平行线。
①能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线； ②体会其作图的依据。
（15）探索并证明平行线 的判定定理：两条直线被 第三条直线所截，如果内 错角相等（或同旁内角互 补），那么两直线平行。
①证明定理； ②通过定理的证明，体会转化的思想； ③能用三种语言解释定理。
（16）探索并证明平行线 的性质定理：两条平行直 线被第三条直线所截，内 错角相等（或同旁内角互 补）。
①证明定理； ②能用三种语言解释定理。
（17）了解平行于同一条 直线的两条直线平行。
①体验平行是可以“传递”的； ②能用三种语言表达定理并能互译。 1．引导学生通过线段大小的比较,认识垂线段最短，在实际操作过程中感受最小值的唯一 性； 2．通过实际的例子或画图理解基本事实的存在性及合理性；
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内容标准 教学要求 教学建议 3．注重几何直观教学，能根据文字语言的要求，作出相应的几何图形；能从图形中获取 相关信息，初步学会“标识图形”； 4．注意说理过程，重视表达的条理性和规范性，逐步渗透“三段论”的表达格式； 5．本部分教学的一个关键点是让学生理解与相交线、平行线有关的角的知识，体会直线 的位置关系是通过有关的角的知识反映出来的。
3．三角形
（1）理解三角形。
①能正确表述三角形； ②了解等腰（等边）三角形的概念； ③知道可以用三角形的边（角）进行分类。
（2）理解三角形的内角、 外角。
①会根据图形找出三角形的内角与外角； ②会画三角形的外角。
（3）理解三角形的中线、 高线、角平分线。
①教学中应关注线段的中点、垂线、角的平分线与三角形的中 线、高线、角平分线的联系； ②能用刻度尺、量角器画三角形的中线、高线、角平分线； ③能用符号语言、图形语言解释三角形中线、高线、角平分线， 会在图形中标识中线、高线、角平分线。
（4）了解三角形的稳定 性。
①能举例说明三角形的稳定性； ②了解三角形的稳定性在生活中的应用。
（5）探索并证明三角形 的内角和定理。
①证明定理；（注意与小学学习内容的衔接） ②通过定理证明，体会平行线的作用； ③能用三种语言表达定理，能互译； ④引导学生利用三角形的内角和定理构建方程解决问题。
（6）掌握它的推论：三 角形的外角等于与它不 相邻的两个内角的和。
①能用三种语言表达定理并能互译； ②注意分析该推论的作用：实现内角与外角的转化。
（7）证明三角形的任意 两边之和大于第三边。
①能用三种语言表达定理并能互译； ②理解该定理的原理。
（8）理解全等三角形的 概念，能识别全等三角形 中的对应边、对应角。
①能根据图形直观解释“形状”、“大小”、“重合”这些词的意义； ②能用实验的方式验证两个图形是否全等； ③能在全等三角形的图形中找出对应点、边、角，并能正确地 表述。
（9）掌握基本事实：三 边分别相等的两个三角 形全等。
①通过实验，体验“三边分别相等的两个三角形全等”的真实 性； ②能区别基本事实的条件、结论； ③结合图形，用符号语言表述基本事实，并能应用； ④全等判定的起始课，要引导学生探索：在三角形全等定义中 要求的六要素对应相等中选择部分要素对应相等，简捷地判定 两个三角形全等，并由此得出分类研究的方向，为后续学习积 累经验。
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内容标准 教学要求 教学建议
（10）掌握基本事实：两 边及其夹角分别相等的 两个三角形全等。
①通过实验，体验“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等”的真实性； ②能区别基本事实的条件、结论； ③能用符号语言解释夹角的意义，并能在图形中正确地识别； ④结合图形，用符号语言表述基本事实，并能应用； ⑤利用反例（图形）让学生直观地判断命题“SSA”的错误，并 体会反例的作用。
（11）掌握基本事实：两 角及其夹边分别相等的 两个三角形全等。
①通过实验，体验“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等”的真实性； ②能区别基本事实的条件、结论； ③能用符号语言解释夹边的意义，并能在图形中正确地识别； ④结合图形，用符号语言表述基本事实，并能应用。
（12）证明定理：两角及 其中一组等角的对边分 别相等的两个三角形全 等。
①能结合图形用符号语言解释“两角分别相等”、“且其中一组 等角的对边相等”的意义； ②能区别定理的条件、结论； ③证明定理。
（13）探索并证明角平分 线的性质定理：角平分线 上的点到角两边的距离 相等；反之，角的内部到 角两边距离相等的点在 角的平分线上。
①通过实验，理解定理的存在性； ②能根据题意，画出图形，并用符号语言表示已知和求证； ③能用图形语言、符号语言解释“点”，“距离”的意义； ④体会辅助线在证明中作用； ⑤证明定理。
（14）理解线段垂直平分 线的概念。
①能用图形语言、符号语言解释一条线段被其垂直平分线垂直 平分； ②从位置关系和数量关系两个方面理解“垂直平分”。
（15）探索并证明线段垂 直平分线的性质定理：线 段垂直平分线上的点到 线段两端的距离相等；反 之，到线段两端距离相等 的点在线段的垂直平分 线上。
①通过实验，理解定理的存在性； ②能根据题意，画出图形，并用符号语言表示已知和求证； ③能用图形语言、符号语言解释“点”，“距离”的意义； ④体会辅助线在证明中作用； ⑤证明定理。
（16）了解等腰三角形的 概念。
了解等腰三角形的有关概念，并结合图形，能识别等腰三角形 的底边与腰、底角与顶角。
（17）探索并证明等腰三 角形的性质定理：等腰三 角形的两底角相等；底边 上的高线、中线及顶角平 分线重合。
①经历实验、猜测、论证的过程获取定理； ②证明定理； ③分析定理“等腰三角形的两底角相等”的意义：常用于证明等 角问题。
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内容标准 教学要求 教学建议
（18）探索并证明等腰三 角形的判定定理：有两个 角相等的三角形是等腰 三角形。
①发现辅助线（三角形的高、中线、角平分线等）在证明中作 用； ②应用定理分析问题、解决问题； ③在该定理证明的教学中，要引导学生分析、思考，并根据证 明的方向，构造出基本图形，以此积累经验。
（19）探索等边三角形的 性质定理：等边三角形的 各角都等于 60°。
①了解等边三角形与非等边的等腰三角形之间的关系，体会从 一般到特殊的研究方法； ②结合图形能用符号语言说明性质定理。
（20）探索等边三角形的 判定定理：三个角都相等 的三角形（或有一个角是 60°的等腰三角形）是等边 三角形。
①能区分判定定理的条件、结论； ②发现这两个定理之间的联系和区别； ③应用等边三角形的判定定理分析问题、解决问题。
（21）了解直角三角形的 概念。
①在三角形的分类中了解直角三角形； ②会用符号表示直角三角形。
（22）探索并掌握直角三 角形的性质定理：直角三 角形的两个锐角互余。
①结合图形，用符号语言表示该定理； ②证明定理。
（23）探索并掌握直角三 角形的性质定理：直角三 角形斜边上的中线等于 斜边的一半。
①结合图形，用符号语言表示该定理； ②证明定理。
（24）探索勾股定理。
①经历观察、猜想、验证、论证的过程探索勾股定理； ②能用文字语言、符号语言表述勾股定理； ③通过定理证明，体会其中所蕴含的重要数学思想；（如：数 形结合、化归与转化） ④分析勾股定理的作用；（线段计算的重要方法） ⑤教学过程中，应关注数学文化的渗透。
（25）探索勾股定理的逆 定理。
①经历观察、猜想、验证、论证的过程探索勾股定理的逆定理； ②能用文字语言、符号语言表述勾股定理的逆定理； ③熟记一些常用勾股数； ④能应用定理进行计算、证明； ⑤理解用“数”刻画“形”的方法，渗透数形结合思想。
（26）能运用勾股定理及 其逆定理解决一些简单 的实际问题。
①运用勾股定理进行线段计算体现了方程的思想； ②通过具体实例，运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实 际问题。
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内容标准 教学要求 教学建议
（27）探索并掌握判定直 角三角形全等的“斜边、 直角边”定理。
①通过实验，体验“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三 角形全等”的真实性； ②能区别定理的条件、结论； ③结合定理分析“HL”中“H”和“L”的具体意义。
（28）了解三角形重心的 概念。
了解重心的概念，知道三角形重心是各边中线的交点。
1．在等腰三角形有关概念的教学中渗透分类思想； 2．在角平分线、线段垂直平分线教学中适当渗透集合的思想，从集合的角度理解角的平 分线和线段的垂直平分线； 3．注重辅助线的教学，理解辅助线的意义以及生成，学会添加三角形“特定线段”（高、 中线、角平分线）的技能； 4．通过分析—综合法的引导，进一步培养学生的逻辑推理能力； 5．在几何教学中要关注用代数方法解决几何问题，选取合适的素材逐步渗透数形结合的 思想。
4．四边形
（1）了解多边形的定义、 多边形的顶点、边、内角、 外角、对角线等概念。
①能结合图形识别多边形的顶点、边、内角、外角、对角线， 并能正确的表述； ②了解多边形中过一个顶点的对角线条数及所分成的三角形 数。
（2）探索并掌握多边形 内角和与外角和公式。
①能用符号语言表述多边形内角和与外角和公式； ②推导多边形内角和与外角和公式； ③应用多边形的内角和与外角和公式解决简单问题。
（3）理解平行四边形的 概念。
①能用符号表示平行四边形； ②能在图形中识别平行四边形的对边、对角、对角线； ③理解平行四边形概念的两面性，并能在具体的推理中运用其 概念。
（4）理解矩形的概念及 与平行四边形的关系。
①理解矩形与平行四边形之间的关系； ②理解矩形概念的两面性，并能在具体的推理中运用其概念。
（5）理解菱形的概念及 与平行四边形的关系。
①理解菱形与平行四边形之间的关系； ②理解菱形概念的两面性，并能在具体的推理中运用其概念。
（6）理解的正方形概念 及与平行四边形、矩形、 菱形之间的关系。
①理解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系； ②理解正方形概念的两面性，并能在具体的推理中运用其概 念。
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内容标准 教学要求 教学建议
（7）了解四边形的不稳 定性。
①通过实例，了解四边形的不稳定性； ②应用四边形的不稳定性解释生活中的有关现象。
（8）探索并证明平行四 边形的性质定理：平行四 边形的对边相等、对角相 等、对角线互相平分。
①经历观察、实验、猜想、论证的过程探索平行四边形的性质 定理，能结合图形，用符号语言表示平行四边形的性质定理； ②证明定理。
（9）探索并证明平行四 边形的判定定理：一组对 边平行且相等的四边形 是平行四边形；两组对边 分别相等的四边形是平 行四边形；对角线互相平 分的四边形是平行四边 形。
①经历观察、实验、猜想、论证的过程探索平行四边形的判定 定理，能结合图形，用符号语言表示平行四边形的判定定理； ②证明定理； ③分析、归纳平行四边形的判定需要两个条件。
（10）了解两条平行线之 间距离的意义，能度量两 条平行线之间的距离。
①了解两点之间的距离、点到直线的距离、两平行线之间的距 离的区别和联系； ②能画出两条平行线之间最短的线段； ③掌握将两条平行线之间距离转化为点到直线的距离的方法， 体会化归与转化思想。
（11）探索并证明矩形的 性质定理：矩形的四个角 都是直角，对角线相等。
①经历观察、实验、猜想、论证的过程探索矩形的性质定理， 能结合图形，用符号语言表示矩形的性质定理； ②证明定理。
（12）探索并证明矩形的 判定定理：三个角是直角 的四边形是矩形，对角线 相等的平行四边形是矩 形。
①经历观察、实验、猜想、论证的过程探索矩形的判定定理， 结合图形，用符号语言表示矩形的判定定理； ②证明定理； ③分析、归纳矩形的判定需要三个条件。
（13）探索并证明菱形的 性质定理：菱形的四条边 相等，对角线互相垂直。
①通过定理证明，能比较熟练运用将菱形问题转化为用直角三 角形或等腰三角形解决的方法，结合图形，用符号语言表示菱 形的性质定理； ②证明定理。
（14）探索并证明菱形的 判定定理：四边相等的四 边形是菱形，对角线互相 垂直的平行四边形是菱 形。
①经历观察、实验、猜想、论证的过程探索菱形的判定定理， 结合图形，用符号语言表示菱形的判定定理； ②证明定理； ③分析、归纳菱形的判定需要三个条件。
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（15）正方形具有矩形和 菱形的一切性质。
①理解正方形与矩形、菱形之间的关系； ②能运用将正方形的问题转化为用矩形、菱形、等腰直角三角 形解决的方法； ③结合图形，用符号语言表示正方形的性质定理。
（16）探索并证明三角形 的中位线定理。
①了解三角形的中位线的概念，了解三角形的中线与中位线的 区别； ②能在图形中画出中位线、识别中位线； ③证明定理； ④在定理的证明过程中引导学生体会“将三角形问题转化为四 边形问题来解决”的策略。 1．注重利用类比的方法研究各种特殊的平行四边形，并渗透一般与特殊、化归与转化以 及分类与整合的思想； 2．理解定义的两面性； 3．了解判定定理与性质定理之间的逻辑关系； 4．定义、性质、判定是研究几何图形的基本内容，有了全等三角形与平行四边形的学习 经验，矩形、菱形与正方形的学习可以适当安排课时，设置恰当的问题放手让学生去探究。
5．圆
（1）理解圆、弧、弦、 圆心角、圆周角的概念， 了解等圆、等弧的概念。
①结合图形会用符号语言表示圆、圆心、半径、弦、直径、弧、 优弧、劣弧、半圆，并概括其要点； ②会用圆规画圆、在圆上能画出半径、直径； ③了解等圆、等弧的概念； ④理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧 的概念。
（2）探索并了解点与圆 的位置关系。
①能通过比较“d”与“r”的大小来判别点与圆的位置关系； ②在此过程中体会用“数量关系”刻画“位置关系”的意义以及分 类与整合思想的运用。
*（3）探索并证明垂径定 理：垂直于弦的直径平分 弦以及弦所对的两条弧。
①能找出圆的对称轴及圆的对称中心； ②掌握数学事实“圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线 都是它的对称轴”； ③经历观察、实验、猜想、论证的过程探索垂径定理； ④了解垂径定理及推论； ⑤应用定理及其推论，“平分弧”、“找圆心”等； ⑥能从垂径定理中提取基本图形（直角三角形），通过构建方 程解决相关问题。
（4）探索圆心角及其所 对弧的关系。
①能在圆上画出圆心角； ②能根据圆上的弦、弧找出对应圆心角； ③能根据圆心角找出对应的弦、弧； ④从旋转对称的角度理解数学事实：“圆是中心对称图形，圆 心是其对称中心，而且绕着圆心旋转任意角度都能与本身重 合”和“同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等，它们所对应的其余各组量也相等”。
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内容标准 教学要求 教学建议
（5）探索圆周角及其所 对弧的关系。
①能在图形中正确识别圆周角； ②能在圆上画出圆周角； ③能根据圆上的弦、弧找出一个圆周角； ④能根据圆周角找出对应的弦、弧； ⑤理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系。
（6）了解并证明圆周角定 理及其推论：圆周角的度 数等于它所对弧上的圆心 角度数的一半；直径所对 的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径；圆 内接四边形的对角互补。
①结合图形会用符号语言表示圆周角定理及其推论； ②证明定理； ③了解圆内接四边形的概念。
（7）知道三角形的外心。
①知道外接圆的意义； ②通过探索知道确定一个圆的条件； ③了解外心、外接圆的概念； ④能画出三角形的外心； ⑤能画出三角形的外接圆。
（8）知道三角形的内心
①知道内切圆的意义； ②了解内心的概念； ③能画出三角形的内心； ④能画出一个三角形的内切圆； ⑤能将与内心有关的问题转化为三角形的问题来解决。
（9）了解直线和圆的位 置关系，掌握切线的概 念。
①了解相交、相离的概念； ②能在图形中识别并标记直线和圆的交点； ③掌握相切、切线、切点的概念； ④掌握“当直线运动时”用位置关系进行分类讨论的标准、方法； ⑤能通过比较“ d ”与“ r ”的大小来判别直线与圆的位置关 系。
（10）探索切线与过切点 的半径的关系，会用三角 尺过圆上一点画圆的切 线。
①结合图形会用符号语言表示切线的判定定理及性质定理； ②会用三角尺过圆上一点画圆的切线 ③掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； ④掌握切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线。
*（11）探索并证明切线长 定理：过圆外一点所画的 圆的两条切线长相等。
①了解切线长的定义（注意区别切线和切线长）； ②证明定理，掌握证明该定理所使用的策略和方法； ③切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段、角、 弧相等以及垂直关系等提供了理论依据。
（12）会计算圆的弧长、 扇形的面积。
①了解弧长、扇形的意义； ②能推导，并熟记弧长、扇形面积的计算公式，理解公式中每 个字母的含义，并能应用公式进行计算。
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（13）了解正多边形的概 念及正多边形与圆的关 系。
①识别一个多边形是正多边形； ②能画正三角形、正四边形； ③了解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念； ④会用量角器、圆规通过等分圆，画正三角形、正方形、正六 边形； ⑤了解正多边形的对称性。 1．注重过程性教学,让学生经历圆周角定理的探索过程，体会分类与整合、特殊与一般、 化归与转化等数学思想方法； 2．引导学生通过点与圆、直线与圆的位置关系的学习体会用“数量”刻画“位置”的意义，渗 透数形结合及分类与整合的思想方法； 3．教学过程中引导学生体会圆与直线型的联系。
6．尺规作图
（1）能用尺规完成以下 基本作图：作一条线段等 于已知线段；作一个角等 于已知角；作一个角的平 分线；作一条线段的垂直 平分线；过一点作已知直 线的垂线。
①能看懂作图语句，并能根据基本作图语句进行作图； ②通过教师的示范帮助学生养成良好的作图习惯，所作的图清 楚、干净； ③鼓励学生用文字语言或符号语言表述作图过程。
（2）会利用基本作图作 三角形：已知三边、两边 及其夹角、两角及其夹边 作三角形；已知底边及底 边上的高线作等腰三角 形；已知一直角边和斜边 作直角三角形。
①熟练掌握基本作图，并能利用基本作图作三角形（已知三边、 两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的 高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。） ②了解上述作图跟“确定三角形”之间的关系； ③ 鼓励学生用文字语言或符号语言表述作图过程。
（3）会利用基本作图完 成：过不在同一直线上的 三点作圆；作三角形的外 接圆、内切圆；作圆的内 接正方形和正六边形。
①熟练掌握基本作图，并能利用基本作图完成：过不在同一直 线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正 方形和正六边形； ②鼓励学生用文字语言或符号语言表述作图过程。
（4）在尺规作图中，了解 作图的道理，保留作图的 痕迹，不要求写出作法。
了解一些尺规作图的问题可以转化为求两个三角形全等的分 析方法。
1．通过尺规作图的教学培养学生动手操作能力； 2．明确作图的依据，深刻体会作图是推理和计算的直观表现； 3．对于尺规作图，了解作图的步骤，保留作图痕迹，并下结论，不要求写出作法、不要 求证明，但是应鼓励学生用文字语言或符号语言表述作图过程； 4．了解画图与尺规作图的区别，如：在画图中，可用量角器或三角板画直角。
7．定义、命 题、定理
（1）通过具体实例，了 解定义、命题、定理、推 论的意义。
通过具体实例，能识别定义、命题、定理、推论。
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（2）结合具体实例，会 区分命题的条件和结论。
①通过具体实例，知道定义、命题、定理、推论是由“题设（条 件）”与“结论”组成的； ②会区分命题的题设（条件）和结论； ③能将一个简单的命题改写成“如果……那么……”的形式； ④能写出命题的题设（条件）和结论； ⑤知道判定真命题与假命题的方法。
（3）了解原命题及其逆 命题的概念。
结合已学具体事例了解原命题及其逆命题的概念。
（4）会识别两个互逆的 命题，知道原命题成立其 逆命题不一定成立。
通过具体实例，识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命 题不一定成立。
（5）知道证明的意义和 证明的必要性，知道证明 要合乎逻辑，知道证明的 过程可以有不同的表达 形式，会综合法证明的格 式。
①用具体的实例说明证明的意义和证明的必要性； ②了解推理的意义； ③知道证明的过程可以有不同的表达形式，会综合法证明的格 式。
（6）了解反例的作用， 知道利用反例可以判断 一个命题是错误的。
①知道反例的结构：满足题设，但不满足结论； ②对于给定的假命题，能举出反例。
（7）通过实例体会反证 法的含义。
①在简单的实例中体会反证法的含义； ②在简单的实例中能看懂用反证法证明的过程。 （不要求用反证法去证明一个命题是正确的）
图形的变化
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1．图形的 轴对称
（1）了解轴对称图形的概 念。
①能举例说明轴对称图形、对称轴的概念； ②知道对称轴是一条直线。
（2）通过具体的实例了解 轴对称的概念。
①能用实例说明轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与 联系； ②了解对称点的意义。
（3）探索轴对称的基本性 质：关于一条直线成轴对称 的两个图形中，对应点的连 线被对称轴垂直平分。
①通过实例探索轴对称的基本性质，并能归纳、概括其要 点； ②结合图形能用符号语言解释轴对称的基本性质； ③能应用轴对称的基本性质分析问题、解决问题。
（4）能画出简单平面图形 （点，线段，直线，三角形
①能画出图形中特殊点的对称点； ③能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形、四边
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等）关于给定对称轴的对称 图形。
形）的轴对称图形（不规则的图形应是直线型图形）； ④能按要求画出简单平面图形经过一次轴对称后的图形； ⑤能综合运用轴对称及有关的知识解决“两条线段和的 最小值”问题。 1．通过“最短路径问题”的教学让学生不仅会操作还要能理解“最短”的原理；（在 此过程中注意几何直观与演绎推理的结合） 2．轴对称是全等变换，教学中要引导学生体会“变中不变”的思想； 3．借助信息技术或教具对实际图形进行轴对称变换操作，让学生通过实验，直观得出 轴对称变换过程中图形的变化情况，再归纳出轴对称的基本性质； 4．通过具体事例的解决，体会从对称变换的角度寻找分析问题、解决问题的方法。
2．图形的 旋转
（1）通过具体的实例认识 平面图形关于旋转中心的 旋转。
①了解旋转、旋转中心、旋转角等有关概念； ②了解对应点的意义。
（2）探索旋转的基本性质： 一个图形和它经过旋转所 得到的图形中，对应点到旋 转中心距离相等，两组对应 点分别与旋转中心连线所 成的角相等。
①能画出基本图形经过旋转后的图形； ②结合图形能用符号语言表示旋转的基本性质。
（3）了解中心对称、中心 对称图形的概念。
①利用具体图形的分析对比，弄清“中心对称”与“对称中 心”两个概念的区别和联系； ②了解对应点的意义。
（4）探索中心对称的基本 性质：成中心对称的两个图 形中，对应点的连线经过对 称中心， 且被对称中心平分。
①能画出一个图形关于对称中心的对称图形。 ②让学生通过对操作、实验等活动的观察，探索归纳中心 对称的基本性质； ③结合图形用符号语言表示中心对称的基本性质。
（5）探索线段、平行四边 形、正多边形的性质。
①了解中心对称图形的概念； ②能找出线段、平行四边形等中心对称图形的对称中心。
（6）认识并欣赏自然界和 现实生活中的中心对称图。
①能识别自然界和现实生活中的实例是否是中心对称图 形； ②能看出所给的图案是由什么图形旋转而成的。
（7）运用图形的旋转进行 图案的设计。
能通过旋转，将简单的图形组成图案。
1．类比轴对称图形、轴对称，进行中心对称图形、中心对称的教学； 2．旋转是全等变换，教学中要引导学生体会“变中不变”的思想； 3．借助信息技术或教具对实际图形进行旋转操作，让学生通过实验，观察旋转过程中 有关图形的变化情况，归纳旋转的基本性质； 4．通过具体事例的解决，从旋转变换的角度寻找分析问题、解决问题的方法。
3．图形的 平移
（1）通过具体实例认识平 移。
①认识生活中具有平移的实例； ②了解在图形之间存在着平移的变换关系； ③认识平移的基本特征、要素。
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内容标准 教学要求 教学建议 （2）探索平移的基本性质： 一个图形和它经过平移所 得的图形中，两组对应点的 连线平行（或在同一条直线 上）且相等。 ①能用三种语言解释平移变换的基本性质； ②能画出平移后的图形； ③能应用性质进行计算、推理。 （3）认识并欣赏平移在自 然界和现实生活中的应用。 ①能识别自然界和现实生活中关于平移的实例； ②能举出具有实际背景的平移实例。 （4）运用图形的平移进行 图案设计。 ①能看出所给的图案是由什么基本图形平移而来的； ②能通过平移，将简单的图形组成图案。 1．平移是全等变换，教学中要引导学生体会“变中不变”的思想； 2．借助信息技术或教具对实际图形进行平移操作，让学生通过实验，观察平移过程中 图形的变化情况，归纳平移的基本性质； 3．通过具体事例的解决，从平移变换的角度寻找分析问题、解决问题的方法。
4．图形的 相似
（1）通过具体实例认识图 形的相似。
①通过典型图例概括相似图形的概念； ②了解相似多边形的概念：对应角相等，对应边成比例的 多边形叫相似多边形。
（2）了解比例的基本性质， 成比例的线段，通过建筑、 艺术上的实例了解黄金分 割。
①结合图形能用符号语言表示比例的基本性质； ②熟练进行比例式与等积式之间的转换； ③通过建筑、艺术上的实例，了解黄金分割的意义。
（3）了解相似多边形和相 似比。
①能在两个相似多边形中找出对应角、对应边； ②了解相似比的意义。
（4）掌握基本事实：两条 直线被一组平行线所截，所 得的对应线段成比例。
①通过具体图例体验基本事实的真实性、合理性； ②能用三种语言表达定理并能互译； ③能用基本事实进行计算、证明。
（5）了解相似三角形的判 定定理：两角分别相等的两 个三角形相似；两边成比例 且夹角相等的两个三角形 相似；三边成比例的两个三 角形相似。
①通过从一般到特殊的抽象过程，了解相似三角形的概念； ②了解相似三角形与全等三角形之间的关系； ③了解定理“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段的比相等”； ④类比全等三角形的判定定理，学习相似三角形的判定定 理； ⑤结合图形能用符号语言表示相似三角形的判定定理。
（6）了解相似三角形的性 质定理：相似三角形对应 线段的比等于相似比；面 积比等于相似比的平方。
①结合图形能用符号语言表示相似三角形的性质定理； ②会用相似三角形的性质定理进行计算、证明； ③结合具体事例的解决，渗透数形结合、化归与转化的思 想。
（7）了解图形的位似，知 道利用位似可以将一个图 形放大或缩小。
①了解位似图形、位似中心的意义； ② 识别位似图形，并能找到位似中心。
（8）会利用图形的相似解 ①能利用图形的相似解决一些简单的实际问题，如测量物
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内容标准 教学要求 教学建议
决一些简单的实际问题。 高和河宽等； ②经历“把实际问题抽象成为数学问题———解决数学问 题———对得到的结果作实际意义的解析”的过程，感悟建 模思想。 （9）利用相似的直角 三角形，探索并认识锐角三 角函数（sinA， cosA， tanA）， 知道 30°、45°、60°角的三 角函数值。 ①通过具体图例，类比函数“对应变化”的思想，探索“变中 不变”的特性，理解锐角三角函数的含义（sinA，cosA， tanA）； ②能正确的表述有关三角函数的符号、表达式； ③准确记忆 30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 （10）会使用计算器由 已知锐角求它的三角函数 值，由已知三角函数值求它 的对应锐角。 ①会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三 角函数值求它的对应锐角； ②会根据特殊的三角函数值求它所对应的锐角。 （11）能用锐角三角函 数解直角三角形，能用相关 知识解决一些简单的实际 问题。 ①了解直角三角形的基本元素、解直角三角形的意义； ②应用解直角三角形的知识解决简单的实际问题，并由此 体会建模的思想。 1．让学生体会全等三角形和相似三角形之间特殊与一般的关系； 2．在锐角三角函数的教学中，引导学生将斜三角形转化为直角三角形； 3．能综合运用相似三角形和锐角三角函数的有关知识解决图形与坐标的有关问题。
5．图形的 投影
（1）通过丰富的实例， 了解中心投影和平行投影 的概念。
①通过丰富的实例，了解投影、平行投影、中心投影、正 投影的意义。
（2）能画直棱柱、圆 柱、圆锥、球的主视图、左 视图、俯视图，会判断简单 物体的视图，会根据视图描 述简单的几何体。
①能画出简单几何体的三视图； ②会判断简单物体的视图； ③会根据视图描述简单的几何体。
（3）了解直棱柱、圆柱、 圆锥侧面展开图形，能根据 直棱柱、圆柱、圆锥侧面展 开图形，制作实物模型。
①知道长方体、圆柱、圆锥的侧面展开图形； ②能根据直棱柱、圆柱、圆锥侧面展开图形，制作实物模 型。
（4）通过实例，了解上 述视图与展开图在现实生 活中的应用。
通过制作长方体纸盒等数学活动，了解直棱柱、圆柱、圆 锥、球的视图与直棱柱、圆柱、圆锥侧面展开图在生活中 的应用。 1．能画直棱柱、圆柱、圆锥、球的三视图；（组合体中不同类型的几何体不超过两种， 同类型的不超过三个） 2．教学中，只要求知道有关投影的基本知识即可，不要挖掘。
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图形与坐标
内容标准 教学要求 教学建议
1．坐标与 图形位置
（1）结合实例进一步体会 用有序数对可以表示物体 的位置。
①借助实例说明“有序数对”的意义； ②能用“有序数对”表示物体的位置。
（2）理解平面直角坐标系 的有关概念，能画出直角坐 标系；在给定的直角坐标系 中，根据坐标描出点的位 置、由点的位置写出它的坐 标。
①通过具体实例，能用符号语言解释横轴、纵轴、原点、 坐标、象限的意义； ②能画出直角坐标系，正确标明坐标系的原点、正方向、 单位长度； ③理解四个象限和坐标轴上的点坐标具有的特征； ④理解一个点坐标与这个点到横轴、纵轴距离之间的关系； ⑤能正确表述一个点的坐标； ⑥在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由 点的位置写出它的坐标。
（3）在实际问题中，能建 立适当的直角坐标系，描述 物体的位置。
在背景较简单的实际问题中，通过比较选择建立适当的直 角坐标系，描述物体的位置。
（4）对给定的正方形，会 选择合适的直角坐标系，写 出它的顶点坐标，体会可以 用坐标刻画一个简单图形。
①在给定的直角坐标系中，会求特殊四边形的顶点坐标； ②对给定的正方形或矩形，会选择合适的直角坐标系，体 会同一个点在不同的坐标系下的不同坐标； ③能在平面直角坐标系中用坐标刻画一个简单图形（直线 形）。
（5）在平面上，能用方位 角和距离刻画两个物体的 相对位置。
通过具体实例，用方位角和距离刻画物体的位置。
1．教学时，建议先以网格图为背景求多边形的顶点坐标； 2．教学中，通过让学生用“数”刻画“形”以及用“形”直观地描述“数”来辩证地体会、理解 数形结合的思想。
2．坐标与 图形运动
（1）在直角坐标系中， 能写出一个已知顶点坐标 的多边形沿坐标轴方向平 移后图形的顶点坐标，并知 道对应顶点坐标之间的关 系。
①探索平移前后点坐标的变化规律，并能用符号表示； ②能通过图形上点坐标的变化，标出图形平移的方向、求 出图形平移的距离。
（2）在直角坐标系中， 探索并了解将一个多边形 依次沿两个坐标轴平移后 所得到的图形与原来的图 形具有平移关系，体会图形 顶点坐标的变化。
①在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个 坐标轴平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系； ②经历平移的过程，了解平移前后图形顶点坐标的变化规 律。
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内容标准 教学要求 教学建议 （3）在直角坐标系里， 以坐标轴为对称轴，能写出 一个已知顶点坐标的多边 形的对称图形的顶点坐标， 并知道应顶点坐标之间的 关系。 ①能归纳、概括已知点关于 x 轴或 y 轴对称的点坐标的规 律； ②对于直角坐标系里的任一个点的坐标（常数或以字母表 示的形式）能写出其关于坐标轴对称的点的坐标； ③能画出简单平面图形关于 x 轴或 y 轴对称的图形。
（4）在直角坐标系中，探 索并了解将一个多边形的 顶点坐标（有一个顶点为原 点、有一条边在横坐标轴 上）分别扩大或缩小相同倍 数时所对应的图形与原图 形是位似的。
能识别将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有 一条边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应 的图形与原图形是位似的。
1．教学中，要让学生经历“图形平移、轴对称变化前后各对应点之间的坐标变化规律” 的探索过程，并通过探索发现、总结规律，从而体会从特殊到一般的思想； 2．引导学生从数量关系的角度用坐标刻画平移、轴对称，把“形”和“数”紧密地结合在 一起，渗透用数量关系刻画空间形式的意识； 3．图形与坐标是“解析法”的一个重要内容，也是初高中衔接的一个素材，教学中不宜 将高中知识添加到初中教学中，但在能力层次上应前后衔接，在思想方法上保持一致。
统计与概率
内容标准 教学要求 教学建议
1．抽样与数
据分析
（1）经历收集、整理、描 述和分析数据的活动，了解 数据处理的过程；能用计算 器处理较为复杂的数据。
①通过具体问题让学生亲历统计活动的过程（提出研究问 题，根据要求设计简单的调查问卷收集数据，利用统计图 表整理数据和表示数据，通过分析数据作出简单判断），加 深对数据的收集、整理、描述、分析的理解，进一步发展 数据分析观念； ②通过案例让学生回顾小学已学过的收集、整理、描述数 据的常用方法，知道收集数据的方法有：调查、试验、测 量、查阅资料等；能用表格、条形图、扇形图、折线图等 统计图表直观地表示数据； ③通过案例让学生体会数据分析的作用，能解释统计图表 中数据的实际意义； ④要充分发挥计算器的作用，训练和培养学生善于使用计 算器处理较为复杂的数据。
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内容标准 教学要求 教学建议
（2）体会抽样的必要性， 通过实例了解简单随机抽 样。
①结合具体的实际问题情境，让学生感受抽样的必要性， 了解全面调查、抽样调查的意义及它们之间的区别； ②通过案例让学生了解总体、个体、样本、简单随机抽样 的意义，体会抽样方式的差异对结论的影响；
（3）会制作扇形统计图， 能用统计图直观、有效地描 述数据。
①小学阶段学生已认识条形统计图、扇形统计图、折线统 计图，并能制作条形统计图、折线统计图表示数据。本学 段还要让学生学会计算扇形统计图中各项目所对应扇形的 圆心角的度数，会制作扇形统计图直观、有效地表示数据。 ②要指导学生了解各种统计图的特点，并能从统计图表中 获取并读懂数据信息。
（4）理解平均数的意义， 能计算中位数、众数、加权 平均数，了解它们是数据集 中趋势的描述。
①通过熟悉的现实背景引导学生理解平均数、加权平均数、 权的意义。让学生能从统计图表中获取信息，计算一组数 据的算术平均数以及加权平均数； ②通过设计有意义的话题引入中位数、众数的概念，让学 生了解表示集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数） 之间的区别和联系，并能选择合适的统计量描述一组数据 的集中趋势； ③考虑到现实中常用统计图来呈现数据，因此要教会学生 能将从统计图表中获取的数据按一定顺序排列，并计算一 组数据的中位数、众数。
（5）体会刻画数据离散程 度的意义，会计算简单数据 的方差。
①要结合具体情境，让学生体会表示数据离散程度的意义， 了解方差的意义，会计算简单数据的方差，能说明方差的 大小与数据波动之间的关系； ②要通过不同情境让学生了解集中趋势、离散程度统计量 之间的区别和联系，以及它们各自的适用范围，从而在解 决实际问题时合理地选择统计量。
（6）通过实例，了解频数 和频数分布的意义，能画频 数直方图，能利用频数直方 图解释数据中蕴涵的信息。
①通过成绩分布等具体案例让学生了解频数、组距、频数 分布、直方图的意义，感受连续分组数据下频数直方图的 优点； ②通过实践让学生了解制作频数直方图的步骤，并能画频 数直方图； ③让学生从频数分布表和直方图中分析这组数据的分布规 律，并解释数据中蕴涵的信息；
（7）体会样本与总体关系， 知道可以通过样本平均数、 样本方差推断总体平均数 和总体方差。
①通过具体的实例让学生了解样本与总体的关系，并能用 样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差，体会 用样本估计总体的思想； ②要通过不同情境让学生了解调查成本与抽样方式对估计 精度的影响，感受随机性。
34
内容标准 教学要求 教学建议
（8）能解释统计结果，根 据结果作出简单的判断和 预测，并能进行交流。
①让学生定量、定性分析统计结果，在此基础上作出简单 的判断和预测，认识到统计对决策的作用； ②要从学生熟悉的生活中，发现并提出问题，引导学生用 统计知识加以解决。要培养学生运用数据进行推断的思考 方法，并能根据问题的背景选择合适的方法，而不是单纯 地学习名词、计算方法； ③要积极引导学生根据统计结果比较清晰地表达自己的观 点，并进行交流，学会“用数据说话”。
（9）通过表格、折线图、 趋势图等，感受随机现象的 变化趋势。
①通过数据分析让学生体验统计的随机性； ②通过具体实例让学生感受一些随机现象的规律性。
2 事件的概
率
（1）能通过列表、画树状 图等方法列出简单随机事 件所有可能的结果，以及指 定事件发生的所有可能结 果，了解事件的概率。
①让学生学生经历“猜测、实验、收集实验数据、分析实验 结果”的活动过程，了解不可能事件、必然事件、确定事件 的含义，了解随机事件（不确定事件）的意义； ②通过实验与数据分析，让学生体会概率的意义，感受简 单随机事件发生概率的大小，建立正确的概率直觉； ③让学生通过列表、画树状图等方法，列出简单随机事件 所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果； ④通过概率实验，让学生知道任一随机事件 A，其概率 P （A）的取值范围为 0≤P（A）≤1，并会求简单事件（古典 概型和可化为古典概型的概型）的概率。
（2）知道通过大量地重复 试验，可以用频率来估计概 率。
①通过大量重复实验让学生了解随机事件发生的频率的变 化规律，理解频率与概率的联系与区别，知道频率可作为 事件发生概率的估计值，进而全面理解概率。 ②鼓励学生使用现代信息技术进行数据计算及模拟实验， 处理复杂的数据和图表，引导学生更好地理解随机事件以 及随机事件发生的概率； ③频数分布表、扇形图、条形图、直方图都能较好地反映 频数、频率的分布情况，要引导学生利用图表所提供的信 息估计概率。 ④设计合理的试验，让学生感受随机现象，渗透“或然与 必然”的数学思想，使学生明确概率和确定性数学一样， 是科学方法，能有效地解决现实世界中的众多问题。

综合与实践
内容标准 教学要求 教学建议
综合与 实践
1．采用合作学习的方式学 习。
（1）教师应充分了解学生各方面特长（如研究能力、动手 能力等），为学生的分组提供参考意见； （2）组内分工应尽量尊重学生自我选择，尽可能由学生自 行协商解决，前提是优势互补、扬长避短，尽可能让学生 在活动中充当最合适的角色，贡献一定智慧。
2．由学生发现和提出问题。
（1）尝试以学生为主发现和提出问题，教师适情况提供一 些指导意见； （2）对学生发现和提出的问题，可在研究小组内小范围酝 酿，也可以由教师主持进行大范围的研究。
3．由学生设计解决问题方 案。
（1）关键引导让学生充分利用所学数学知识，学会建立模 型解决问题，把实际问题变成数学问题； （2）在设计方案时，注意顺序，要先由个人自我设计，后 由小组方案（对比优劣，博采众长）。
4．让学生全程经历问题的解 决的实施的过程。
（1）有别于课堂上教师的直接讲授，必须以学生全程参与 为主（当然在实施过程中教师可对问题适当引领）； （2）学生经历的实践过程应相对完整，应营造氛围，使每 个研究小组内有充分交流； （3）要使学生充分利用所学数学知识，小组中每个学生在 实施过程中，既分工又协作。
5．活动成果要有展示和交 流。
（1）在组内交流的基础上，每个研究组应有成果的呈现， 形式可多样（比如口头小报告、文字小论文等，展示过程 和结果）； （2）成果的呈现中，重视结果的同时，更要重视过程，要 有其他组和老师的评价，通过这些交流活动，让学生学会 反思、积累活动经验； （3）成果的呈现中，在重视结果、过程的同时，还要总结、 评价组员作用，让学生有自我实现的感觉，提高学生学习 兴趣。 1．明确活动的目的是前提。“综合与实践”的目的是：让学生积累活动经验；培养学生 应用意识和创新意识；加深数学内容各分支之间、数学和其他学科之间、数学与学生生 活实际之间的综合。学生通过“综合与实践”的学习，使学生得到综合的发展。 2．合适的选题和预设是关键。所以，“综合与实践”活动的选择和设计要注意三个策略： 一要考虑阶段性，不同学段学生的认知水平不同，所接受的数学知识不同，教师应该根 据学段目标，合理设计“综合与实践”活动；二要考虑挑战性、实践性，解决与生活经 验密切联系的具有一定综合性的问题，重实践、重综合；三要考虑全员性，所选择的课 题要使所有的学生都能参与，不同的学生可以通过解决问题的活动，获得不同的体验。 选题可以来自教材，也可以由教师、学生共同开发得出，提倡教师自行研制、开发校本 课题。
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内容标准 教学要求 教学建议 3．正确的活动实施是保证：一是要放手，让学生自主发现问题与解决问题，教师的指导 要适时、适当，要让“综合与实践”的实施成为提高教师和学生素质的互动过程；二是要 全程，学生全程参与活动，而不是几个片段的组合；三是要合作，组织好学生之间的合 作交流，让每个学生发挥专长，各得其所，共同提高；四是要交流，在关注过程的同时， 也应该关注结果的交流和展示；五是把握好活动次数，每学期开展“数学活动”多次，开 展“课题学习”的综合与实践活动一至二次；六是精心设计活动形式，不拘泥于课堂，“综 合与实践”活动可以在课堂上完成，也可以课内外相结合完成。
三、考试评价
（一）日常学习评价 依据《义务教育数学课程标准（2011 版）》的评价建议，评价的主要目的是全面 了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学，应以课程目标和课
程内容为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问
题解决和情感态度价值观等方面的表现。
日常学习评价应以表现性评价的质性评价方式与传统的书面测验的量化评价方式
相结合。 1．初中数学学习表现性评价 表现性评价是质性评价的一种，是通过学生完成具有一定真实性的任务来表现学
业成就和情感态度的一种评价方式。在数学教学过程中，教师通过设计一些有具体任
务的活动，学生需要运用已有的知识、技能进行数学思考、分析和解决问题，通过对
活动过程中学生反映出的学业成就和情感态度的真实情况进行观察、记录，并基于学
生表现进行评价。活动可以是：参与某个数学活动、解决（回答）某个数学问题、参
与一次课堂讨论、档案袋建档与整理等等。
表现性评价作为传统书面测验的量化评价方式的补充，很好地体现了评价的过程
性、差异性、发展性和激励性，但需要关注评价内容的水平标准的科学性、评价结果
的呈现与反馈的实效性、评价主体的多元化。
依据课程标准的评价建议，从学业成就和情感态度两个维度进行初中数学学习表
现性评价。 （1）学业成就表现性评价 ·学业成就表现水平标准
从基础知识（概念及原理）的认识、基本技能的掌握、数学思考和问题解决能力
三个方面设定表现水平标准。
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表一：数学基础知识认识的水平标准
水平 标准
水平 I
直观认识 回忆（识别、再认）：基于概念或原理的直观形象，进行识别或回 忆
水平 II
理性认识：初 步理解——能 领会概念或原 理的意义
解释（表征、转换）：能将概念或原理的一种表征方式转换为另一 种表征方式（如符号语言、文字语言、图形语言的转换） 举例：根据概念或原理举出具体例子 归类（区分）：能判断具体例子是否属于某个概念或者适用某个原 理（比如判断一个方程是否一元二次方程）
水平 III
理性认识：深 刻理解——理 解概念或原理 的形成过程， 理解其本质内 涵及知识间的 联系
总结（概括） ：用一个表述代表已呈现的信息，概括主题或要点 推断（预测）：从一组事例中发现特征及相互联系，从而抽象出一 个概念或原理或从呈现的信息中，推断出合乎逻辑的结论 比较（对照、比较）：通过对两个或以上的事例进行比较，从而获 得一类事例的共同属性或本质属性（如通过对不同位置的角进行分 类获得圆周角的概念） ，或发现两个数学对象之间的对应关系 说明：依据经验或者研究得出，或者从正规的理论中推演，能用一 个完整的系统说明概念或原理的来龙去脉。（如证明或推导数学原 理）
水平 IV
直觉认识 联想（想象）：对概念或原理的认识具有稳定结构，形成几何直观 想象或代数模式直观（如在结构模型的变式中能顺利与相应概念或 原理建立联系）
表二：数学基本技能掌握的水平标准
水平 标准 水平 I 按照规则和步骤进行计算、画（作）图、推理、数据处理时，存在错误 水平 II 按照规则和步骤进行正确的计算、画（作）图、推理、数据处理 水平 III 能熟练地按照规则和步骤进行正确的计算、画（作）图、推理、数据处理 水平 IV 能合理选择规则，并按照相应步骤，熟练地进行正确的计算、画（作）图、推理、 数据处理 说明：“熟练”可以通过设定完成技能操作所需时间来衡量。
表三：数学思考及问题解决能力的水平标准
水平 标准
水平 I
1．对多数数学问题中的文字语言、符号语言和图形语言不能进行正确转译 2．根据问题的条件，基本不能寻找到合理的运算途径，出现多处错误 3．不了解演绎推理的基本规则和方法 4．不能根据条件正确想象几何图形，基本不能正确分析几何元素之间的关系 水平 II 1．能对多数数学问题中的文字语言、符号语言和图形语言进行正确转译
38
水平 标准 2．能根据问题的条件，适当地寻找到合理的运算途径，得到正确结果 3．知道演绎推理的基本规则和方法，能基本正确地表述推理过程 4．能根据条件准确想象简单几何图形，知道其中的基本元素及其之间的关系；能 理解基本图形的运动、变换 5．会根据具体情境收集数据，并进行简单的数据处理
水平 III
1．能对绝大多数数学问题中的文字语言、符号语言和图形语言进行正确转译 2．能根据问题的条件，设计合理的运算途径，选择简捷运算方法，得到正确结果 3．理解演绎推理的基本规则和方法，并能正确、简明和有条理地表述推理过程 4．能准确想象简单几何图形；能准确刻画基本图形的位置关系、运动变换，能分 析其中的基本元素及其关系，能用基本图形的性质揭示复杂图形的性质 5．会根据具体情境收集数据，对数据进行适当的处理；能基于数据对问题进行定 量或定性分析 6．能运用基本的数学模型，解决简单实际问题 7．能使用观察、尝试、实验、归纳、概括、验证等方式得到猜想和规律
水平 IV
1．能熟练地对数学问题中的文字语言、符号语言和图形语言不能进行正确转译 2．能根据问题的条件，设计合理的运算途径，选择简捷运算方法，得到正确结果 3．掌握演绎推理的基本规则和方法，并能正确、简明和有条理地表述推理过程， 能对推理演绎的正确性进行合理解释 4．能准确刻画基本图形的位置关系、运动变换，能分析其中的基本元素及其关系； 能在复杂图形中区分出目标基本图形，能用基本图形的性质揭示复杂图形的性质； 能通过直观想象猜想、构造图形并探索解决问题的方向 5．会根据具体情境收集数据，对数据进行适当的处理；能基于数据对问题进行定 量或定性分析，并作出合理的统计决策 6．能根据实际问题，灵活地选择数学模型，并运用求解模型的结果对实际问题进 行解释或分析 7．会运用已有的知识经验，设计并选择最优方案，解决新情境中的数学问题
·学业成就评价呈现及反馈
学业成就表现性评价的主体主要是教师，也可根据具体的知识点、技能点或要解
决的问题，设置更为清晰的等级量表，指导学生自我评价。如：针对解分式方程的运
算技能，表二可具体为：
表二：解分式方程运算技能掌握的水平标准 水平 标准 水平 I 按照规则和步骤解分式方程，但常出现错误 水平 II 按照规则和步骤正确解分式方程 水平 III 能熟练地按照规则和步骤正确解分式方程（按班级平均速度设置是否熟练的标准） 水平 IV 能根据分式方程的结构特征，合理选择规则并按照相应步骤，熟练、正确地解分式 方程（按班级平均速度设置是否熟练的标准）
39
学业成就采用整体评分法，根据水平从 I 到 IV 分别赋分 1—4 分，将评价结果以 带有评语的等级分的形式反馈给学生，帮助学生了解自己在基础知识的认识、基本技
能的掌握、数学思考和问题解决能力发展上的进步与不足，以明确今后努力的方向。
学业成就表现水平标准可用于学习困难的诊断性评价，也可根据任务设定的综合
性用于形成性或总结性评价。 （2）情感态度表现性评价 情感态度的表现性评价既要重视外显行为的观察也要重视内隐行为的了解。
外显行为主要指学生的学习状态，可以以课堂观察的形式进行观察、记录和分析、
评价。
·学习状态表现评价量表
表四：数学学习状态评价量表
评价项目 评价内容
评价等级 （分 A、B、C、D 四级）
听课
动作神态 视觉集中，没有无关动作 情绪表现 面部、姿态和语调表情呈现情绪饱满
语言反馈
敢于提问 答问积极主动
笔记
习惯 主动笔记 质量 重点、难点突出，有认知度 讨论 倾听 倾听他人观点 表达 清晰表达本人观点
合作
个人分工 完成本人分工的任务 小组协作 与小组内其他成员良好沟通、协作
作业
完成质量 按时完成作业，作业质量体现本人的学习水平 反馈矫正 及时订正作业中的错误并进行适当总结
反思
意识 主动反思 质量 反思有针对性 说明：A：优秀；B：良好；C：一般；D：有待改进 ·学习状态评价呈现及反馈
学习状态表现性评价的主体应多元：学生自评、互评（组内、组间）、师评等相
结合。 学习状态表现性评价采用分项评分法，根据等级从 A 到 D 分别赋分 4—1 分，将 评价结果以带有评语的等级分的形式反馈给学生，评语应明确告知学生哪些地方做得
好，哪些地方不够，帮助学生了解自己的学习状态，进行有意识地调整。
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评价量表可以是对一节课的学习状态的评价，也可以是对一阶段的学习状态的评
价，成为形成性或总结性评价的一部分。
也可将某阶段（或学期）若干次使用学习状态评价量表的得分求和或求均值，作
为阶段或学期的学习状态得分，成为形成性或总结性评价的一部分。
情感态度内隐行为主要指学生的潜在意识，一部分可通过学习状态体现或印证，
一部分需要通过沟通和交流才能了解，可以以问卷访谈的形式进行，问题应围绕对数
学学习价值的认识、对数学学习的兴趣和信心、对数学学习过程中克服困难的勇气、
毅力等设置，并以问题组的形式考查某一方面的情感态度，避免片面结论。如，对数
学学习的兴趣可设置问题：
你喜欢上数学课吗？
你喜欢看数学刊物吗？
你经常留意身边的数学问题吗？
你喜欢和同学讨论数学问题吗？
你喜欢思考难题吗？
你经常努力想更好的方法解决一个数学问题吗？ …… 问卷访谈可以每个学期进行一次，以了解学生情感态度的状况及变化，教师在分
析问卷访谈结果的基础上结合学习状态评价，以建议的形式反馈给学生。 （3）档案袋评价 档案袋是指由学生在教师的指导下，搜集起来的，可以反映学生的努力情况、进
步情况、学习成就等一系列的学习作品的汇集。它展示了学生某一段时间内、某一领
域内学业水平的发展。档案袋的形成过程一般由学生和教师共同完成。 ·档案袋评价的内容 内容是档案袋的核心部分，包括课内学习和课外实践的成果，对课堂学习起到补
充、激励的作用。在档案袋材料的收集、整理、平衡、筛选过程中，潜移默化地影响
着学生能力和情感态度。其中关注以下几个方面： A．既包括核心内容，也包括可选内容。核心内容是展示学生的共同基础，可选 内容展示学生的个性特点。如作业样本、书面测验的成绩或试卷、教师观察评价的结
果、家长评价单等。 B．既包括最好的作品，也应包括有问题的作品；既包括作品的最终版本，也可 以包括第一版本和修改版本。如研究报告、观察记录、小制作、小论文、小模型等。
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每一个作品都应注明日期（完成日期、放入日期），以提供成长过程的证据。 C．对每一作品，都应进行反思：①我从中学到了什么？②我哪方面做得好？③ 为什么选择这一作品？④我可以如何改进这一作品？⑤对于这一作品的感觉如何？
⑥还存在哪些问题？这些可放入反思袋中。
档案袋中的材料可以是多种形式的，包括书面材料、音频或视频材料等。 ·档案袋评价呈现及反馈 档案袋的评价方式以学生自评、互评为主，老师、家长参评为辅。 评价结果的呈现采用“成长记录内容+评语+等级”的方法。每学期结束前先由学生 对自己的成长记录内容进行整理，再分别由学生、同学、家长、教师，依据档案袋提 供的材料，用鼓励性的语言描述学习情况（即评语），最后再给予综合评定(即等级)。 2．初中数学学习书面测验 书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，也是目前对学生学习进行量
化评价的主要手段。合理设计和实施书面测验有助于全面考查学生的数学学业成就，
及时反馈教学成效，不断提高教学质量。 （1）对于基础知识和基本技能达成情况的考查 首先，试题的设计必须准确把握课标中的内容要求，不偏不超。（详见《课程标 准》第 58 页）； 其次，注重考查学生对基础知识的理解，对基本技能所蕴涵的原理的理解，尝试
设计出考查学生对知识形成过程的理解的试题。 （2）对于数学能力、数学素养的考查 首先，应关注并体现课程标准的设计思路中提出的几个核心词：数感、符号意识、
空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和
创新意识。应设计有针对性的试题，考查学生在不同能力素养上的发展。
其次，重视在新情境下考查学生的数学能力素养。尽量避免陈题，使解答过程不
单纯是学生的解题经验、习惯的反映，能真正考查学生是否能运用已学的知识、技能，
独立思考，自主分析、解决问题。
尝试设计出能考查学生思维过程的试题。
（二）初中学业水平考试要求
1．考试性质 以《义务教育数学课程标准（2011 版）》为指导，以本《指导意见》为依据，结 合我省初中数学教学实际进行命题。
42
2．命题依据
以《义务教育数学课程标准（2011 版）》为指导，以本《指导意见》为依据，结
合我省初中数学教学实际进行命题。
3．命题原则
（1）导向性：命题应体现义务教育的性质，面向全体学生，关注每个学生的不
同发展；体现《数学课程标准》的理念，落实《数学课程标准》所设立的课程目标，
关注数学知识的理解和解释，关注数学规则的选择和运用，关注数学问题的发现与解
决；促进师生在教学方式、学习方式上的转变，促进数学教学质量的提升。
（2）公平性：试题素材、背景应符合学生所能理解的生活现实、数学现实和其
他学科现实，考虑城乡学生认知的差异性,避免出现偏题、怪题。
（3）科学性：试卷的命制应严格按照命题的程序和要求进行，有效发挥各种题
型的功能，保持测量目标与行为目标一致，避免出现知识性、技术性、科学性错误。
（4）基本性：命题应突出基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验的考查，
注重对数学问题解决的通性通法的考查，注重考查学生对其中所蕴含的数学本质的理
解，关注学生学习数学过程与结果的考查。
（5）发展性：命题应突出对学生数学思考能力、解决问题能力和数学素养的发
展性评价，重视反映数学思想方法、数学探究活动的过程性评价，注重对学生的应用
意识和创新意识的考查，提倡评价标准多样化，促进学生的个性化发展。
4．考试范围
《数学课程标准》（7—9 年级）中：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合
与实践四个部分的内容。凡是《数学课程标准》中标有*的选学内容和借助计算器进
行操作的内容，不作为考试要求。
5．内容目标
（1）基础知识与基本技能考查的主要内容
了解数产生的意义，理解代数运算的意义、算理，能够合理地进行基本运算与估
算；能够在实际情境中有效地应用代数运算、代数模型及相关概念解决问题；能够借
助不同的方法探索几何对象的有关性质；能够使用不同的方式表达几何对象的大小、
位置与特征；能够在头脑里构建几何对象，进行几何图形的分解与组合，能对某些图
形进行简单的变换；能够借助数学证明的方法确认数学命题的正确性；正确理解数据
的含义，能够结合实际需要有效地表达数据特征，会根据数据结果作合理的预测；了
解概率的涵义，能够借助概率模型、或通过设计活动解释一些事件发生的概率。
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（2）“数学基本能力”考查的主要内容
数学基本能力指学生在运算能力、推理能力、空间观念、数据分析观念、应用意
识、创新意识等方面的发展情况，其内容主要包括：
①运算能力：主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。
②推理能力：凭借经验和直觉，通过观察、尝试、归纳、类比等活动获得数学猜
想，并能进一步从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则进行证明和计
算。
③空间观念：主要指能依据语言的描述画出图形，懂得描述图形的运动和变化，
并利用图形描述和分析问题，研究基本图形性质。
④数据分析观念：指会收集、分析数据，并根据数据中蕴涵的信息选择合适的方
法做出判断，体验随机性。
⑤应用意识：认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题可以抽象成
数学问题，并有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实
世界中的问题。
⑥创新意识：主要指能发现和提出简单数学问题，初步懂得应用所学的数学知识、
技能和基本思想进行独立思考；能归纳概括得到猜想和规律，并加以验证。
（3）“数学基本思想”考查的主要内容
数学基本思想着重考查学生对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、
特殊与一般思想、化归与转化思想、或然与必然思想等的领悟程度。
①函数与方程思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和运动变化的观点去分
析和研究问题中的数量关系，建立函数模型，并利用函数性质求解函数模型，从而解
决问题。方程思想是分析问题中数量间的等量关系，将所求的量设成未知数，用它表
示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系列方程（组），通过解方程（组）或
对方程（组）进行研究，以求得问题的解决。函数与方程是整体与局部、一般与特殊、
动态与静止等相互联系的，在一定条件下，它们可以相互转化。
②数形结合思想
数形结合思想就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数
学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。其中“以形助数”是指
借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的。“以
数辅形”是指借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，
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形作为目的。
③分类与整合思想
在解某些数学问题时，当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题
发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分
分别研究。这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问
题的方法，其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在
一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类与整合思想。
④特殊与一般思想
人们对一类新事物的认识往往是通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类
事物的了解，逐渐形成对这类事物总体的认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由
浅入深，由现象到本质，由局部到整体，这种认识事物的过程是由特殊到一般的认识
过程。但这并不是目的，还需要用理论指导实践，用所得到的特点和规律解决这类事
物中的新问题，这种认识事物的过程是由一般到特殊的认识过程。于是这种由特殊到
一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一。数学研究
也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的思想，就是数学研究
中的特殊与一般思想。
⑤化归与转化思想
化归与转化思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题转化为熟悉的基本
问题，进而使问题得到解决的一种解题策略。数学题中的条件与条件、条件与结论之
间存在着差异，差异即矛盾，解题过程就是有目的地不断转化矛盾，最终解决矛盾的
过程。
⑥必然与或然思想
人们发现事物或现象可以是确定的，也可以是模糊的，或随机的。随机现象有两
个最基本的特征，一是结果的随机性，即重复同样的试验，所得到的结果未必相同，
以至于在试验之前不能预料试验的结果；二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，
每个试验结果发生的频率“稳定”在一个常数附近。概率与统计研究的对象均是随机
现象，研究的过程是在“或（偶）然”中寻找“必然”，然后再用“必然” 的规律
去解决“或然”的问题，这其中所体现的数学思想就是必然与或然思想。
（4）对考查目标的要求层次
依据数学课程标准，考试要求的知识技能目标分为四个不同层次：了解；理解；
掌握；运用。具体涵义如下：
45
了解：从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体
情境中辨认或者举例说明对象。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。
运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。
（5）考试内容与要求
数 与 代 数
考试内容 目标水平
（一）
数
与
式
1．有理数
有理数的意义 理解 用数轴上的点表示有理数 掌握 比较有理数的大小 掌握 相反数和绝对值的意义 理解 求有理数的相反数与绝对值 掌握 |a|的含义（这里 a 表示有理数） 了解 乘方的意义 理解 有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三 步以内为主) 掌握 有理数的运算律 理解 用运算律简化运算 掌握 用有理数的运算解决简单的问题 运用
2．实数
平方根、算术平方根、立方根的概念 了解 用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 理解 乘方与开方互为逆运算 了解 用平方运算求百以内整数的平方根 理解 用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根 理解 无理数和实数的概念 了解 实数与数轴上的点一一对应 了解 求实数的相反数与绝对值 掌握 用有理数估计一个无理数的大致范围 掌握 近似数 了解 在解决实际问题中，能按问题的要求对结果取近似值 掌握 二次根式、最简二次根式的概念 了解 二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除的运算法则 了解 用二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则 进行有关的简单四则运算 理解
（一） 3．代数式
代数式 了解 用字母表示数的意义 理解 分析具体问题中的简单数量关系，用代数式表示 掌握
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考试内容 目标水平
数
与
式
求代数式的值 理解
4．整式与分
式
整数指数幂的意义和基本性质 了解 用科学记数法表示数 理解 整式的概念 理解 合并同类项和去括号的法则 掌握 进行简单的整式加法和减法运算 掌握 进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之 间以及一次式与二次式相乘） 掌握 推导乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2， (a±b)2 =a2±2ab+b2 掌握 平方差、完全平方公式的几何背景 了解 利用平方差、完全平方公式进行简单计算 掌握 用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行 因式分解（指数是正整数） 掌握 分式和最简分式的概念 了解 利用分式的基本性质进行约分和通分 掌握 进行简单的分式加、减、乘、除运算 掌握
（二）
方
程
与
不
等
式
1．方程与方
程组
根据具体问题中的数量关系列出方程 掌握 等式的基本性质 掌握 解一元一次方程 掌握 解可化为一元一次方程的分式方程 掌握 代入消元法和加减消元法 掌握 解二元一次方程组 掌握 配方法 理解 用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程 掌握 用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个 实根是否相等 理解 根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理 掌握
2．不等式与
不等式组
不等式的意义 了解 不等式的基本性质 理解 解数字系数的一元一次不等式 掌握 在数轴上表示出一元一次不等式的解集 掌握 用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解 集 理解 根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决 简单的问题 掌握
（三） 1．函数
常量、变量的意义 了解 函数的概念和三种表示法 了解 结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析 掌握
47
考试内容 目标水平
函
数
确定简单实际问题中函数自变量的取值范围 掌握 求出函数值 理解 用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关 系 掌握 结合对函数关系的分析，对变量的变化情况进行初步讨论 掌握
2．一次函数
根据已知条件确定一次函数的表达式 掌握 利用待定系数法确定一次函数的表达式 理解 画出一次函数的图像 掌握 k＞0 和 k＜0 时，一次函数 y = kx + b (k≠0)图像的变化情 况 理解 正比例函数 理解 一次函数与二元一次方程的关系 掌握 用一次函数解决简单实际问题 掌握
3．反比例
函数
根据已知条件确定反比例函数的表达式 掌握 画出反比例函数的图像 掌握 k＞0 和 k＜0 时，y=k x (k≠0)图像的变化情况 理解 用反比例函数解决简单实际问题 掌握
4．二次函数
用描点法画出二次函数的图像 理解 通过图像了解二次函数的性质 了解 用 配 方 法 将 数 字 系 数 的 二 次 函 数 的 表 达 式 化 为 khxay  2)( 的形式 理解 能根据二次函数表达式得到图像的顶点坐标，开口方向和 对称轴， 掌握 用二次函数解决简单实际问题 掌握 用二次函数图像求一元二次方程的近似解 理解
图 形 与 几 何
考试内容 目标水平
（一） 图 形 的 性 质
1．点、线、 面、角
从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点的认识 了解 线段长短的比较 理解 线段的和、差以及线段中点的意义 理解 基本事实：两点确定一条直线 掌握 基本事实：两点之间线段最短 掌握 两点间距离的意义 理解
（一）
1．点、线、 面、角
两点间距离的度量 掌握 角的概念 理解 角的大小的比较 掌握
48
考试内容 目标水平
图
形
的
性
质
度、分、秒的意义，度、分、秒间的换算，角的和、差的 计算
理解
2．相交线与
平行线
对顶角、余角、补角等的概念 理解 对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的 补角相等的性质 掌握 垂线、垂线段等的概念 理解 用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线 掌握 点到直线的距离的意义 理解 度量点到直线的距离 掌握 基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 掌握 同位角、内错角、同旁内角的定义 理解 平行线的概念 理解 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直 线平行 掌握 基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 掌握 平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同 位角相等 掌握 用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线 掌握 平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内 错角相等（或同旁内角互补），那么两直线平行 掌握 平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内 错角相等（或同旁内角互补） 掌握 平行于同一条直线的两条直线平行 了解
3．三角形
三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等的概念 理解 三角形的稳定性 了解 三角形的内角和定理 掌握 三角形的内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相 邻的两个内角的和 掌握 三角形的任意两边之和大于第三边 理解 全等三角形的概念 理解 全等三角形中的对应边、对应角的意义 理解 基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 掌握 基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 掌握 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等 掌握 定理：两角分别相等及其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等 掌握
（一） 3．三角形
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相 等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
掌握
线段垂直平分线的概念 理解
49
考试内容 目标水平
图
形
的
性
质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线 段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线 段的垂直平分线上
掌握
等腰三角形、等边三角形的概念 了解 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边 上的高线、中线及顶角平分线重合 掌握 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三 角形 掌握 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于 60° 掌握 等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一 个角是 60°的等腰三角形）是等边三角形 掌握 直角三角形的概念 了解 直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 掌握 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三 角形 掌握 勾股定理及其逆定理 掌握 运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题 运用 判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 掌握 三角形重心的概念 了解
4．四边形
多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线 等的概念
了解
多边形内角和与外角和公式 掌握 平行四边形、矩形、菱形、正方形等的概念以及它们之间 的关系 理解 四边形的不稳定性 了解 平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相 等、对角线互相平分 掌握 平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是 平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形 掌握 两条平行线之间距离的意义 了解 两条平行线之间距离的度量 掌握 矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角， 对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；正方 形具有矩形和菱形的一切性质 掌握
（一） 4．四边形
矩形、菱形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形， 对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱 形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形
掌握
50
考试内容 目标水平
图
形
的
性
质
三角形的中位线定理 掌握
5．圆
圆、弧、弦、圆心角、圆周角等的概念 理解 等圆、等弧的概念 了解 点与圆的位置关系 了解 圆周角与圆心角及其所对弧的关系 理解 圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆 心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周 角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补 掌握 三角形的内心和外心的意义 了解 直线和圆的位置关系 了解 切线的概念 掌握 切线与过切点的半径的关系 掌握 用三角尺过圆上一点画圆的切线 理解 圆的弧长、扇形的面积的计算 理解 正多边形的概念及正多边形与圆的关系 了解
6．尺规作图
基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知 角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过一 点作已知直线的垂线
掌握
利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角 及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角 形；已知一直角边和斜边作直角三角形
理解
利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆； 作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正 六边形
理解
尺规作图的道理（保留作图的痕迹，不要求写出作法） 了解
7．定义、命
题、定理
定义、命题、定理、推论的意义 了解 命题的条件和结论的意义 理解 原命题及其逆命题的概念 了解 两个互逆的命题的识别 理解 原命题成立，其逆命题不一定成立 了解 证明的意义和证明的必要性，证明要合乎逻辑，证明的过 程可以有不同的表达形式 了解 综合法证明的格式 理解
反例的意义及其作用（利用反例判断一个命题是错误的） 了解
反证法的含义 理解
（二） 1．图形的轴
轴对称的概念 了解 轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连 线被对称轴垂直平分 理解
51
考试内容 目标水平
图
形
的
变
化
对称
画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给 定对称轴的对称图形
掌握
轴对称图形的概念 了解 等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质 理解 自然界和现实生活中的轴对称图形 了解
2．图形的旋
转
平面图形关于旋转中心的旋转的认识 了解 平面图形关于旋转中心的旋转的基本性质：一个图形和它 经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等， 两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等 理解 中心对称、中心对称图形等的概念 了解 中心对称、中心对称图形的基本性质：成中心对称的两个 图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 理解 线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质 理解 自然界和现实生活中的中心对称图形 了解
3．图形的平 移
平移的认识 了解 平移的意义及其基本性质：一个图形和它经过平移所得的 图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且 相等 理解 平移在自然界和现实生活中的应用 了解 运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计 运用
4．图形的相
似
比例的基本性质、线段的比、成比例的线段 了解 黄金分割 了解 图形相似的认识 了解 相似多边形和相似比 了解 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例 掌握 相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相 似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比 例的两个三角形相似 了解 相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相 似比；面积比等于相似比的平方 了解 图形的位似，利用位似可以将一个图形放大或缩小 了解 利用图形的相似解决一些简单的实际问题 理解 锐角三角函数（sinA，cosA，tanA） 理解 30°，45°，60°角的三角函数值 了解
4．图形的相
似
使用参考数据由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角 函数值求它的对应锐角
掌握
用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简 单的实际问题
掌握
52
考试内容 目标水平
5．图形的投
影
中心投影和平行投影等的概念 了解 画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图 理解 简单物体视图的判断 掌握 根据视图描述简单的几何体 理解 直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图 了解 根据展开图想象实物模型 掌握
视图与展开图在现实生活中的应用 了解
（三）
图
形
与
坐
标
1．坐标与图
形位置
用有序数对表示物体的位置 理解 平面直角坐标系的有关概念 理解 画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，根据坐标描出 点的位置、由点的位置写出它的坐标 掌握
建立适当的直角坐标系，描述物体的位置 掌握
对给定的正方形，选择适当的直角坐标系，写出它的顶点 坐标
理解
在平面上，用方位角和距离刻画两个物体的相对位置 掌握
2．坐标与图
形运动
在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，写出一个已知顶点 坐标的多边形的对称图形的顶点坐标
掌握
在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，对称点坐标之间的 关系
了解
在直角坐标系中，写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标 轴方向平移后图形的顶点坐标
掌握
在直角坐标系中，一个点沿坐标轴方向平移后的坐标与原 坐标之间的关系
了解
在直角坐标系中，将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平 移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，对应点的 坐标平移关系
了解
在直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点 为原点、有一个边在横坐标轴上）分别扩大或缩小相同倍 数时所对应的图形与原图形是位似的
了解
53
统 计 与 概 率
考试内容 目标水平
（一） 抽 样 与 数 据 分 析
数据处理 了解
简单随机抽样 了解
制作扇形统计图 理解
用统计图直观、有效地描述数据 掌握
平均数的意义 理解
计算中位数、众数、加权平均数 掌握
中位数、众数、加权平均数是数据集中趋势的描述 了解
计算简单数据的方差 理解
频数和频数分布的意义 了解
画频数直方图 掌握
利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息 掌握
通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差 了解
解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测 掌握
（二） 事 件 的 概 率
通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定 事件发生的所有可能结果
掌握
事件的概率 了解
可以用大量地重复试验获得频率来估计概率 了解
综 合 与 实 践 1．在实际情境中，会设计具体问题的解决方案，综合运用所学的数学知识、方法与思想，建 立模型，解决问题，发现问题和提出问题，增强应用意识，提高实践能力。 2．在问题情景中，会操作观察、探索发现问题的本质（或性质、或变化规律、或结论），并用 数学的语言加以阐述，理解分析问题和解决问题的方法，提高搜集分析、提取有用信息解决问 题的能力。 3．在问题探求中，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，会从不同角度探求解 决问题的途径与方法，掌握知识之间的联系性（即，数学学科之间、数学与其他学科之间、数 学与生活之间的联系）及解决问题方法的多样性，发展应用意识，增强创新意识。 6．考试形式、时间 初中数学学业水平考试采用闭卷笔试形式，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
54
7．试题难度 根据初中学业水平考试的性质合理安排试题难度结构进行命题。 8．试卷结构 试卷包含选择题、填空题和解答题三种题型，其中选择题约 40 分；填空题约 24 分；解答题约 86 分，题量约 25 题，具体试卷结构见参考试卷。选择题是四选一型的 单项选择题；填空题只要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程；解答题包
括计算题、作图题、证明题、应用题等，解答题应写出文字说明、演算步骤、推证过
程或按题目要求正确作图。
附录 1：题型示例 （容易题）1． 0 2016 =【B】 A．0 B．1 C．-2015 D．2015
（容易题）2．某市地下调蓄设施的蓄水能力达到 140000 立方米．将 140000 用科学记数法表示 应为【B】 A．14×104 B．1．4×105 C．1．4×106 D．0．14×106 （容易题）3．A,B 是数轴上两点,线段 AB 上的点表示的数中,有互为相反数的是【B】
A． B．
C． D．
（容易题）4．2x3可以表示为【A】
A．x3＋x3 B．x3·x3 C．2x·2x·2x D．8x
（容易题）5． 不等式组
2x＜6， x＋1≥－4 的解集是【A】
A．－5≤x＜3 B．－5＜x＜3 C．x≥－5 D．x＜3 （容易题）6．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是【C】
A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形
（容易题）7．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是【A】
第7题 俯视图
主视图 左视图
2 0 1 BA 1 1  0 1 2 BA
0 2 3 BA 1 0 2 3 BA 1
55
A．圆锥 B．圆柱
C．三棱锥 D．长方体
（容易题）8．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④
的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，
则取走的正方体是（ ）【A】
A．① B．② C．③ D．④
（容易题）9．如图所示的几何体的俯视图是【B】
（容易题）10．在端午节到来之前，学校食堂推荐了 A，B，C 三家粽子专卖店，对全校师生爱吃
哪家的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购．下面的统计量中最值得关注的是【D】
A．方差 B．平均数 C．中位数 D．众数 （容易题）11． 如图，点 E，F 在线段 BC 上，△ABF 与△DEC 全等，点 A 与点 D，
点 B 与点 C 是对应顶点，AF 与 DE 交于点 M，则∠DEC＝【D】
A． ∠B B． ∠A C． ∠EMF D． ∠AFB （容易题）12．△ABC 中，AB<BC，用尺规作图 ．．．．在 BC 上取一点 P，使 PA+PC=BC，
则下列作法正确的是【D】
C DBA正 面
第 9 题
第 8 题
第 11 题
56
第15题
（容易题）13． 如图，是在直角坐标系中围棋子摆出的图案，若再摆放一黑一白两枚棋子，使 9
枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标是【A】
A．黑（3，3），白（3，1）
B．黑（3，1） ，白（3，3）
C．黑（1，5） ，白（5，5）
D．黑（3，2），白（3，3） （容易题）14． 如图，DE 是△ABC 的中位线，过点 C 作 CF ∥BD 交 DE 的延长线于
点 F，则下列结论正确的是【B】
A． EF＝CF B． EF＝DE C． CF＜BD D． EF＞DE
（容易题）15．如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开，若测得 AM
的长为 1．2km，则 M，C 两点间的距离为【D】
A．0．5km B．0．6km
C．0．9km D．1．2km
（容易题）16．已知三个数 a、b 、 c 的平均数是 0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能 ．．．是（ ）
【D】
（中等题）17．如图，用十字形方框从日历表中框出 5 个数，已知这 5 个数的和为 5a-5，a 是方框①,
②, ③, ④中的一个数，则数 a 所在的方框是（ ） 【C】
A．① B．②
C．③ D．④
第 13 题
第 14 题
第 17 题
57
（中等题）18． 动物学家通过大量的调查估计，某种动物活到 20 岁的概率为 0．8，
活到 25 岁的概率为 0．6，则现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是【B】
A．0．8 B．0．75 C．0．6 D．0．48 （中等题）19 已知△ABC 的周长是 l，BC＝l－2AB，则下列直线一定为△ABC 的对称轴的是【C】 A．△ABC 的边 AB 的中垂线 B．∠ACB 的平分线所在的直线 C．△ABC 的边 BC 上的中线所在的直线 D．△ABC 的边 AC 上的高所在的直线
（中等题） 20．已知甲、乙两个函数图像上部分点的横坐标 x 与对应的纵坐标 y 分别如下表所示．若
这两个函数图像仅有一个交点，则交点的纵坐标 y 是【D】
A．0 B．1
C．2 D．3
（中等题）21．平面直角 坐标系中，已 知□ABCD 的三个顶 点坐标分别是 A（m，n），
B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点 D 的坐标是 【A】
A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1，2）
（中等题）22．已知二次函数 2 y ax bx c    的图像如图所示，下列结论正确的是【D】 A． 0 a B． 0 c C． 2 4 0 b ac   D． 0 a b c   
x 1 2 3 4 y 0 1 2 3
x －2 2 4 6 y 0 2 3 4
甲 乙
第 22 题
58
（中等题）23． 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将 △ABC 折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 D 处，EF 为折痕，若 AE＝3，
则 sin∠BFD 的值为【A】
A．
3 1
B．
3 22
C．
4 2
D．
5 3
（稍难题）24．已知点 A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m+1）在同一个 函数图像上 ，
这个函数 图像可以是【C】
A B C D
（稍难题）25． 如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，2），在 x 轴上任 取一点 M，完成以下作图步骤：①连接 AM，作线段 AM 的垂直平分线 l1， 过点 M 作 x 轴的垂线 l2，记 l1，l2的交点为 P；②在 x 轴上多次改变点 M 的位置，用①的方法得到相应的点 P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起 来，得到的曲线是【B】 A．直线 B．抛物线 C．双曲线 D．双曲线的一支
（稍难题）26．设 681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b， 6782＋1358＋690＋678 ＝c，则 a，b，c 的大小关系是【A】 A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
（容易题）27．计算：  3 279 ．【0】
（容易题）28．分解因式： m mx  2 = ． 【   ) 1(1  xxm 】
（容易题）29．计算：     1 3 1 3 mm m ． 【3】
第 23 题
第 25 题
xO
y
O
y
x O
y
x
O
y
x
59
第 33 题
（容易题）30．说明命题“ 4 x  ，则 2 16 x  ”是假命题的一个反例可以
是 ．
【答案不唯一，如“0 4  ，而 2 0 16  ”】
（容易题）31．如图 4，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 是边
AD 的中点，若 AC＝10，DC＝2 5，则∠EBD 的大小约为 ． （参考数据：tan26°34′≈1 2 ） 【18 度 26 分】 （容易题）32．写出一个 y 关于 x 的二次函数的解析式，且它的图像的顶点在 y 轴上： ． 【如 2 xy  （只要 c bxa xy   2 中 0 ,0  ba 即可）】
（容易题）33．右图是由射线 AB，BC，CD，DE，组成的平面图形，
则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____．【360°】 （容易题）34．一个不透明的袋子中有 3 个红球和 2 个黄球，这些球除颜色外完
全相同．从袋子中随机摸出 1 个球，这个球是黄球的概率为 ．【
5 2
】
（容易题）35．如图，将一副三角尺叠放在一起，则图中∠α的度数为 °．【75】 （中等题）36．如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在边 BC 上，连接 AD，将线段 AD
绕点 A 逆时针旋转到 AE，使得∠DAE=∠BAC，连接 DE 交 AC 于 F．请写出图中一对相似的三
角形： ． （只要写出一对即可） 【如：△AFE∽△DFC，△ABD∽△AEF，△ABD∽△DCF， △ADF∽△ACD，△ABC∽△ADE；】 （中等题）37．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为 r 上，下方的弧半径为 r 下，
4 6 

第35题

O

E
 
图6

D

C

B

A
第31题
60
则 r 上 r 下． （填“＞”“=”“＜”）【＜】 （中等题）38．如图，正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别为 AB、CD 上的点，且 AB CFA E 3 1 ， 点 O 为线段 EF 的中点，过点 O 作直线与正方形的一组对边分别交于 P 、 Q 两点，并且满足 PQ=EF．则这样的直线 PQ（不同于 EF）有 条．【3】
（中等题）39．公元 3 世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式 a2＋r≈a＋ r 2a
得到 2的近似
值 ． 他 的 算 法 是 ： 先 将 2看 成 12＋1， 由 近 似 公 式 得 2≈1＋ 1 2×1
＝3 2
； 再 将 2看 成
（3 2
）2＋（－1 4
），由近似公式得 2≈3 2
＋
－1 4 2×3 2
＝17 12
；…依此算法，所得 2的近似值会越来越精
确．当 2取得近似值577 408 时，近似公式中的 r 是 ． 【－ 1 144
】
（稍难题）40．如图，6 个形状，大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱
形的一个内角为 60°，A，B，C 都在格点上，则 tan ABC  的值是 ． 【 3 2
】 （稍难题）41．如图，⊙O 的弦 BC 长为 8，点 A 是⊙O 上一动点，且∠BAC=  45 ，点 D，E 分
别是 BC， AB的中点，则DE长的最大值是 ． 【 2 4 】
（稍难题）42．已知点 P（m，n）在抛物线 y＝ax2－x－a 上，当 m≥－1 时，总
A
B C
E
D
FO
第38题E
B
A
CD
F
第36题
第 37 题
第 40 题
A
B
C
A
B A
C
D A
E A
O A 第 41 题
→

图5

A

B

C

O
第 43 题
61
有 n≤1 成立，则 a 的取值范围是 ．【－1 2
≤a＜0】
（稍难题） 43．如图，已知∠ABC＝90°， AB＝πr， BC＝πr 2
，半径为 r 的⊙O 从点 A 出发，沿 A→B→C
方向滚动到点 C 时停止．则圆心 O 运动的路程是 ． 2πr
（容易题）44．计算：10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5 ．
解： 10＋8×(－1 2
)2－2÷1 5
＝10＋8×1 4
－2×5
＝10＋2－10 ＝2． （容易题）45．计算： 2 0 2 2cos60 (3.14 π)     o ．
解：原式=
1 1 2 1 4 2    1 4  ．
（容易题）46．化简： ) 4()2( 2   x xx ．
解：原式= x xxx 4 44 22   =4 （容易题）47．先化简，再求值： 2 1( 1 )
1
x
x x  

，其中 5 1 x  ．
解：原式= 1
( 1)( 1) x x x x x     = 1 1x  ． 当 5 1 x  时， 原式= 1 5 1 1   = 1 5 = 5 5 ．
62
（容易题）48．解方程组
x＋y＝1， 4x＋y＝－8．
解：
x＋y＝1， 4x＋y＝－8． ②－①，得 3x＝－9， x＝－3 将 x＝－3 代入①，得 y＝4．
则这个方程组的解是
x＝－3， y＝4．
（容易题）49．解不等式
71 2 3 x x    ，并把解集在数轴上表示出来．
解：3x﹣6≤2（7﹣x） ． 3x﹣6≤14﹣2x． 3x+2x≤14+6． 5x≤20． x≤4．
把不等式解集在数轴上表示为
（容易题）50．解方程：
2 1
1
x
x x  

．
解： ( ) ( ) 2 2 1 1 x x x x + = + 2 22 2x x x x + = + 2x =
经检验 2 x=- 是原方程的解．
①
②
0 1 2 3 4 54 -3 -2 -1
63
（容易题） 51．如图，在□ABCD 中，BC＝10，AC＝8，BD＝14．求△AOD 的 周
长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC＝10， AO＝1 2 AC＝4， DO＝1 2 BD＝7． ∴△AOD 的周长＝10＋4＋7＝21．
（容易题）52．已知：如图，B，A，E 在同一直线上，AC∥BD 且 AC=BE，∠ABC=∠D． 求证：AB=BD． 证明：∵AC∥BD， ∴∠CAB=∠EBD． 在△CAB 和△EBD 中
∵
,
,
.
CAB EBD ABC D AC BD ìÐ =Ð ï ï ï ïÐ =Ð í ï ï ï = ï î ∴△CAB≌△EBD． ∴AB=BD．
（容易题）53．如图，已知四边形 ABCD．请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件， 推出四边形 ABCD是平行四边形，并予以证明． 关系：① AD∥BC，② CD AB ， ③   180 CB ，④ C A   ． 已知：在四边形 ABCD中， ， ， （填序号，写出一种情况即可） 求证：四边形 ABCD是平行四边形．
情形一：选择 ①，③ 证明：∵   180 CB ，
A
B C
D
第53题
第51题
第 52 题
64
∴AB∥DC ． 又∵ AD∥BC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 情形二：选择 ①，④ 证明：∵ AD∥BC， ∴   180 BA ． 又∵ C A   ， ∴   180 BC ． ∴AB∥DC ． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 情形三：选择 ②，③ 证明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC ． 又∵ CD AB ， ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 情形四：选择 ③，④ 证明：∵   180 CB ， ∴AB∥DC． 又∵ C A   ， ∴   180 BA ． ∴ AD∥BC． ∴四边形 ABCD 是平行四边形．
（容易题） 54．数学课上，老师要求学生证明命题： “角平分线上的点到这个角的两边距离相等”．以 下是小华解答的部分内容（缺少图形和证明过程） ，请你把缺少内容补充完整． 已知：点 P 在∠AOB 的角平分线 OC 上，PD⊥OA 于 D,PE⊥OB 于 E． 求证：PD=PE． 证明： 画图（如图所示） ． 证明：∵OC 平分∠AOB，∴∠1=∠2． ∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠3=∠4=90°． ∵OP=OP, ∴△ODP ≌△OEP． ∴PD=PE．
（容易题）55．某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩 （百分制）如下表所示．

第 54 题
65
应聘者 面试 笔试 甲 87 90 乙 91 82 若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩 6 和 4 的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被 录取？ 解：由题意得， 甲应聘者的加权平均数是6×87＋4×90 6＋4 ＝88.2． 乙应聘者的加权平均数是6×91＋4×82 6＋4 ＝87.4． ∵88.2＞87.4， ∴甲应聘者被录取．
（容易题）56．A、B 两组卡片共 5 张，A 中三张分别写有数字 2、4、6，B 中两张分别写有 3、5． 它
们除数字外没有任何区别． （1）随机地从 A 中抽取一张，求抽到数字为 2 的概率； （2）随机地分别从 A、B 中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现 制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为 3 的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的
游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？
解：（1）P（抽到数字为 2）
3 1 ； （2）不公开，理由如下．画树状图如下：
从树状图中可知共有 6 个等可能的结果， 而所选出的两数之积为 3 的倍数的机会有 4 个． ∴ P（甲获胜） 3 2 6 4  ，而 P（乙获胜）
3 1
3 21   ．
∵ P（甲获胜）>P（乙获胜）, ∴ 这样的游戏规则对甲乙双方不公平．
（容易题）57．某市第三中学组织学生参加生命安全知识网络测试．小明对九年 2 班全体学生的测试 成绩进行统计，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图． 根据图表中的信息解答下列问题： （1）求九年 2 班学生的人数； （2）写出频数分布表中 a,b 的值； （3）已知该市共有 80000 名中学生参加这次安全知识测试，若规定 80 分以上（含 80 分）为优秀， 估计该市本次测试成绩达到优秀的人数； （4） 小明通过该市教育网站搜索发现，全市参加本次测试的中学生中，成绩达到优秀有 56320 人． 请
2
3 5
4
3 5
6
3 5
A
B
66
你用所学统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因． 组别 分数段（x） 频数 A 0≤x＜60 2 B 60≤x＜70 5 C 70≤x＜80 17 D 80≤x＜90 a E 90≤x≤100 b
（1）学生的人数= 17 34%
=50；
（2）a=12，b=14； （3）80000×（24%+28%）=41600； （4）因为只抽查了九年 2 班测试成绩对于全市来讲不具有代表性，而抽查的样本只有 50 名学生， 对于全市 80000 名学生来讲不具有广泛性．
（容易题）58．已知一次函数 y＝kx＋2，当 x＝－1 时，y＝1．求此函数的解析式，并在平面直角
坐标系中画出此函数的图像．
解：把 x＝－1，y＝1 代入 y＝kx＋2，得 1＝（－1）k＋2， k＝1 ． 则函数解析式为 y＝x＋2 ．
列表，得
画图，得
（中等题）59．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点，若 AD∥OC，
直线 BC 与⊙O 相交，判断直线 CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
证明：连接 OD，
x 0 －2 y 2 0
D 24%
A
B
C 34%
E
第 59 题
67
∵AD∥OC， ∴∠BOC＝∠OAD， ∠COD＝∠ADO． ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ADO． ∴∠BOC＝∠COD． ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△BOC≌△DOC． ∴∠OCB＝∠OCD． 即 OC 是∠DCB 的平分线． ∴点 O 到直线 CB，CD 的距离相等，记为 d． ∵直线 BC 与⊙O 相交， ∴d＜OB＝OD． ∴直线 DC 与⊙O 相交． （中等题）60．如图，在△ABC 中，∠C=90，点 O 在 AC 上，
以 OA 为半径的⊙O 交 AB 于点 D，BD 的垂直平分线交 BC 于
点 E，交 BD 于点 F，连接 DE．
（1）判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若 AC=6，BC=8，OA=2，求线段 DE 的长．
解：(1) 直线 DE 与⊙O 相切． 理由如下： 连接 OD． ∵OD=OA，
B
C
O
D
A
第60题
68
∴∠A=∠ODA． ∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴EB=ED． ∴∠B=∠EDB． ∵∠C=90， ∴∠A＋∠B＝90． ∴∠ODA＋∠EDB＝90． ∴∠ODE＝180－90＝90． ∴直线 DE 与⊙O 相切． (2) 连接 OE，设 DE=x，则 EB=ED=x，CE=8-x． ∵∠C=∠ODE=90， ∴ 2 2 2 2 2 OC CE OE OD DE     ． ∴ 2 2 2 2 4 (8 ) 2 x x    ． ∴ 4.75 x ． 即 DE=4.75 ．
（中等题）61．小明家饮水机中原有水的温度是 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程 中水温 y (℃)与开机时间 x (分)满足一次函数关 系]，当加热到 100℃时自动停止加热，随后水温开 始下降[此过程中水温 y (℃)与开机时间 x(分)成 反比例关系]，当水温降至 20℃时，饮水机又自动 开始加热……，重复上述程序（如图所示）．根据
图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0≤x≤8 时，求水温 y(℃)与开机时间x(分)
的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内水的
温度约为多少℃？ 解：（1）当 0≤x≤8 时，设水温 y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式为 y kx b   ，
依题意，得
  
  1008 20 bk b
解得
  
 
20 10
b k ∴ 20 10  xy ． （2）在水温下降过程中，设水温 y(℃)与开机时间x(分) 的函数关系式为
x my  ，
20
y(℃) 100
O 8 x(分) t 第61题
69
依题意，得
8 100 m  ，即 800 m ．
∴
x y 800  ． 当 20 y 时，
t 8002 0 ，解得 40 t ． （3）∵45-40=5≤8, ∴当 5 x 时， 70 2051 0  y ． 答：小明在通电开机后外出散步 45 分钟回到家时，饮水机内水温约为 70℃．
（中等题）62．为了迎接北京和张家口共同申办及举办 2020 年冬奥会，全长 174 千米的京张高铁 于 2014 年底开工．按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少 18 分钟，最 快列车时速是最慢列车时速的 29 20 倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少？ 解：设京张高铁最慢列车的速度是 x 千米/时．
由题意，得
60 18
20 29 174-1 74  xx
．
解得 180 x ． 经检验， 180 x 是原方程的解，且符合题意． 答：京张高铁最慢列车的速度是 180 千米/时． （中等题）63．已知正比例函数 ) 0(1  aa xy 与反比例函数 )0(2  k x ky 的图像在第一象限内交于点 A（2，1）． （1）求a 、 k的值； （2）在直角坐标系中画出这两个函数的大致图像，
并根据图像直接回答 1 y > 2 y 时x的取值范围． 解：（1）把点 A（2，1）分别代入 y1=ax 和
x ky 2 中得 2 1a ， 2 k ． （2）由图像知，当 y1＞y2时，-2＜x＜0 或 x＞2．
（中等题）64．某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是 20 元/千克，根据以往的销售情况描 出销量 y（千克/天）与售价 x（元/千克）的关系，如图所示． （1）试求出 y 与 x 之间的一个函数关系式； （2）利用（1）的结论：①求每千克售价为多少元时，每天可以获得最大的销售利润； ②进口产品检验、运输等过程需耗时 5 天，该“特产”最长的保存期为一个月（30 天），若售价不 低于 30 元/千克，则一次进货最多只能多少千克？
xy 2 1 1 
x y 2 2 
O x
y
第63题
A(2,1)
1
1 2 3 4 512345 2 3 4 5 -1 -2
-4 -5 -3
70
解：（1）从图像中可知，此函数近似为一次函数 设此一次函数解析式为 b kxy   （ 0 k ） ．
依题意得：
  
  324 0 383 7 bk bk
，解得：
  
  112 2
b k ∴y 与 x 之间的函数关系式为 112 2  xy ． （2）①设每天可以获得的销售利润为 w 元，依题意得： ( 20) ( 20)( 2 112) w x y x x      
2
2 2 152 2240 2( 38) 648 x x x      
．
∵ 0 2 ，开口向下, ∴当 38 x 元时，每天可以获得的销售利润 w 取得最大值 648 元． ②设一次进货为 s 千克，依题意得： 25 25( 2 112) 50 2800 s y x x       ． ∵ 0 50 ，s 随 x 的增大而减小，又 30 x ∴当 30 x 时，s 取得最大值 1300． 故一次进货最多只能 1300 千克．
（稍难题）65．对某一个函数给出如下定义：若存在实数 0 M  ，对于任意的函数值 y，都满足 M y M   ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数 的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是 1． （1）分别判断函数 1 y x    0x  和   1 4 2y x x     是 不是有界函数？若是有界函数，求其边界值； （2）若函数 1 y x     a x b b a    ， 的边界值是 2， 且这个函数的最大值也是 2，求b的取值范围； （3）将函数   2 1 0y x x m m     ， 的图像向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t，当m 在什么范 围时，满足 3 1 4 t  ？ 解：（1） 1( 0) y x x = > 不是有界函数， 1( 4 2) y x x = + - < £ 是有界函数，其边界为 3．
71
（2）∵y=-x+1，∴y 随 x 的增大而减小， ∵a x b b a    ， ，且函数的最大值是 2， ∴当 x=a 时，2=-a+1，a=-1． 当 x=b 时，y=-b+1，
∵
2 1 2, . b b a ì- £- + < ï ï í ï > ï î
∴-1＜b≤3． （3）若 m＞1，函数向下平移 m 个单位，x=0 时，函数的值小于-1，此时函数的边界 t 大于 1，与题意不符，故 m≤1． 当 x=-1 时，y=1；当 x=0 时，ymin=0． 将函数   2 1 0y x x m m     ， 的图像向下平移 m 个单位后，
对应点为（-1,1-m）和(0,-m) ∵ 3 1 1 4 m£ - £ 或 3 1 4 m£- £- ． ∴ 1 0 4 m 或 3 1 4 m ． （稍难题）66．如图，已知点 A（－1，－2），抛物线 F： 2 2 2 2y x mx m    与直线 x=－2 交于点 P． （1）当抛物线 F 经过点 A 时，求它的表达式； （2）设点 P 的纵坐标为 P y ，求 P y 的最小值，此时抛物线 F 上有两点 1 1 ( , ) x y ， 2 2( , )x y ，且 1 2 x x  ≤－2，比较 1 y 与 2 y 的大小； （3）已知点 B（0，2），点 C（2，2） ，当抛物线 F 与线段 BC 有公共点时，直接写 出 m 的取值范围． 解：(1) ∵抛物线 F 经过点 A（－1，－2）， ∴ 2 2 1 2 2 m m     ． ∴m=-1． ∴抛物线 F 的表达式是 2 2 1 y x x    ． (2)当 x=-2 时， 2 4 4 2Py m m    = 2 ( 2) 2 m  ． ∴当 m=-2 时， P y 的最小值=－2． 此时抛物线 F 的表达式是 2 ( 2) 2y x   ． ∴当 2 x 时，y 随 x 的增大而减小． ∵ 1 2 x x  ≤－2， 第 65 题 第 66 题
0 37 39 40
32 34
38
售价 x(元/千克)
销量 y(千克/天)
第 64 题
72
∴ 1 y > 2 y ． (3) 2 0 m   或2 4 m  ．
（稍难题）67．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝－4x＋m相交于第一象限不同的两点： A（5，n） ，B（e，f） ． （1）若 m＝4，x＜1，画出一次函数 y＝－4x＋m 图像； （2）将此抛物线平移，设平移后的抛物线为 y＝－x2＋px＋q 且过点 A， ① 若 b＝4，c＝6，p＝5，是否可以通过平移使抛物线的顶点恰好在直线 y＝－4x＋m 上？请说明理由； ② 若点（1，2）在平移后的抛物线上，且 m－q＝25．在平移过程中，若抛物线 y＝ －x2＋bx＋c 向下平移了 s（s＞0）个单位长度，求 s 的取值范围． 解：（1）由题得，直线解析式为 y＝－4x＋4 ． 列表，得
画图如右． （2）① 解：由题得，平移前的抛物线解析式为 y＝－x2＋4x＋6． 把 A（5，n）代入得，n＝1 ． 把 A（5，1）分别代入 y＝－4x＋m 和 y＝－x2＋5x＋q，得 m＝21，q＝1． ∴直线的解析式为 y＝－4x＋21， 平移后的抛物线解析式为 y＝－x2＋5x＋1． ∴平移后的抛物线的顶点为（5 2
， 29 4 ）． 当 x＝5 2 时，y＝－4x＋21＝11≠29 4 ． ∴不能通过平移，使平移后的抛物线的顶点恰好在直线 y＝－4x＋m 上． ② 解：将 A（5，n）分别代入 y＝－x2＋bx＋c，y＝－4x＋m， 将 A（5，n）， （1，2）分别代入 y＝－x2＋px＋q，得 －25＋5b＋c＝n， －20＋m＝n， －25＋5p＋q＝n， -1＋p＋q＝2 ． 又 m－q＝25 ， 解得 m＝22，n＝2，p＝6，q＝－3，c＝27－5b． ∴直线的解析式为 y＝－4x＋22， 平移前抛物线的解析式为 y＝－x2＋bx＋27－5b ， 平移后抛物线的解析式为 y＝－x2＋6x－3． 设在平移过程中，抛物线向下平移了 s 个单位长度， 又 y＝－x2＋6x－3＝－（x－3）2＋6， y＝－x2＋bx＋27－5b＝－（x－b 2 ）2＋(b2 4 －5b＋27) ，
x 0 1 y 4 0 _ x
_ y
_ O 1
4
y＝－4x＋4（x＜1）
73
∴s＝（b2 4 －5b＋27）－6＝1 4
（b－10）2－4．
当－x2＋bx＋27－5b＝－4x＋22 时，可得 x1＝5，x2＝b－1． ∴B（b－1，－4b＋26） ． ∵A，B 在第一象限且为不同两点， ∴b－1＞0，－4b＋26＞0 且 b－1≠5． ∴1＜b＜13 2 且 b≠6． 对于 s＝1 4 （b－10）2－4． ∵1 4 ＞0，∴当 b＜10 时，s 随 b 的增大而减小． ∵1＜b＜13 2 且 b≠6， ∴－15 16 ＜s＜65 4 且 s≠0． ∵s＞0, ∴0＜s＜65 4 ． ∴在平移过程中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 向下平移的单位长度 s 的取值范围 是 0＜s＜65 4 ． （稍难题）68．如图，抛物线 C1： x xy 3 23 2  的顶点为 A，与 x 轴的正半轴交于点 B．
（1）将抛物线 C1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的 2 倍，求变换后得到的抛物线
的解析式；
（2）将抛物线 C1上的点（x，y）变为（kx，ky） （|k|＞1），变换后得到的抛物线记作 C2．抛
物线 C2的顶点为 C，点 P 在抛物线 C2上，满足 S△PAC＝S△ABC， 且∠ACP＝90°． ①当 k＞1 时，求 k 的值； ②当 k＜-1 时，请你直接写出 k 的值，不必说明理由．
解：（1）∵ 3 )1(3323 2 2   xxxy ，
∴抛物线 C1经过原点 O，A（1， 3）和 B（2，0）三点．
∴变换后得到的抛物线经过原点 O，（2， 3 2 ）和（4，0）三点．
第 68 题
74
∴变换后得到的抛物线的解析式为 x xy 3 2 2 3 2  ．
（2）①当 k＞1 时，∵抛物线 C2经过原点 O， （k， 3k）和（2k，0）三点．
∴抛物线 C2的解析式为 x x k y 3 23 2  ．
∴O，A，C 三点共线，且顶点 C 为（k， 3k） ．
∵S△PAC＝S△ABC， ∴BP∥AC． 过点 P 作 PD⊥x 轴于 D，过 B 作 BE⊥AO 于 E． 依题意得△ABO 是边长为 2 的正三角形，四边形 CEBP 是矩形． ∴OE＝1，CE＝BP＝2k－1．
∴BD＝
2 1k ，PD＝ ) 12( 2 3  k ．
∴P（
2 3k ， ) 12( 2 3  k ）．
∴ 2 3 3 3 3 (2 1) ) 2 3( ) 2 2 2 k k k k      （ ．
解得 k＝
2 9
．
②k＝
2 9 ．
（稍难题） 69．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（1，m＋1）， B（a，m＋1），C（3，m＋3），D（1，m＋a），m ＞0 ，a＞1． （1）若 AD∥BC ，判断四边形 ABCD 的形状并说明理由；
75
_ y
_ xO
A B
C
D
E
F
G
P
图 2
（2）若 a＜3，点 P（n－m，n）是四边形 ABCD 内 的一点，且△PAD 与△PBC 的面积相等，求 n－m 的值． 解：（1）∵A（1，m＋1），B（a，m＋1）， ∴yA＝yB ． ∴AB∥x 轴． ∵A（1，m＋1），D（1，m＋a）， ∴xA＝xD． ∴AD∥y 轴． ∴∠DAB＝90° ． 又 a＞1， ∴AB＝a－1， AD＝a－1． ∴AD＝AB ． 如图 1， ∵CB∥AD， ∴CB∥y 轴． ∴xC＝xB， ∴a＝3 ． ∴yC＝yD＝m＋3 ． ∴CD∥x 轴． ∴CD∥AB． ∴四边形 ABCD 是平行四边形． 又∠DAB＝90°， ∴四边形 ABCD 是矩形． 又 AD＝AB， ∴四边形 ABCD 是菱形． ∴四边形 ABCD 是正方形． （2）设直线 AC 的解析式为 y＝kx＋b， 将 A（1，m＋1），C（3，m＋3）分别代入，可得 k＝1，b＝m． ∴y＝x＋m． ∵当 x＝n－m 时，y＝n－m＋m＝n， ∴点 P（n－m，n）在直线 y＝x＋m 上． 又点 P 在四边形 ABCD 内， ∴点 P 在线段 AC 上． 如图 2，过点 P 作 PE⊥x 轴，交 AB 于点 E，作 PF⊥y 轴，交 AD 于点 F， ∵由（1）得，AB∥x 轴，AD∥y 轴， AD＝AB ， ∴PE＝n－m－1，PF＝n－m－1． ∴PE＝PF． O y
x
A B
C
D
第 69 题
_ y
_ xO
A B
CD
图 1
76
∴S△PAD＝S△PAB ． ∵S△PAD＝S△PBC， ∴S△PAB＝S△PBC． ∴S△PAB＝1 2 S△ABC ． 过点 C 作 CG⊥x 轴，交 AB 延长线于点 G，则 CG＝2． ∵1 2 AB·PE＝1 2 ×1 2 AB·CG． ∴PE＝1 2 CG． ∴n－m－1＝1． ∴n－m＝2．
（稍难题）70．定义：点 P 是四边形 ABCD 内 ．一点，若三角形△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均
为等腰三角形，则称点 P 是四边形 ABCD 的一个“准中心”． （1）如图 1，已知点 P 是正方形 ABCD 内的一点，且∠PBC=∠PCB=60°，证明点 P 是正边 形 ABCD 的一个“准中心”； （2）（1）中除点 P 外，正方形 ABCD 还有几个“准中心”？并在图 1 中分别画出它们； （3）如图 2，已知∠BAD=60°，AB=AD=6，点 C 是∠BAD 平分线上的动点，问在四边形 ABCD 的对角线 AC 上最多存在几个“准中心”点 P（自行画出示意图），并求出每个“准 中心”点 P 对应线段 AC 的长．（精确到个位） 参考数据： 3 1.7 » ，sin37.5 0.6，cos37.5 0.8，tan37.5 0.8．
解：（1）证明：∵ABCD 是正方形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=BC=CD
D
CB
A
P
图1
B
D
图2
A
第70题
77
又∵∠PBC=∠PCB=60°， ∴∠BPC=60°． ∴PB=PC=BC=AB=CD，∠PBA=∠PCD=30°, ∴△PBA≌△PCD，
∴PA=PD ． ∴△PAB、△PBC、△PCD、△PDA 均为等腰三角形．
∴点 P 是正边形 ABCD 内的一个“准中心”． （2）正方形 ABCD 内还有 4 个“准中心”， （画图略）； （3）答：在四边形 ABCD 的对角线 AC 上最多存在 3 个“准中心”点 P ． ① 如图 1，当 PA=PB=PC=PD 时，点 P 是“准中心”点． ∵∠BAD=60°，点 C 在∠BAD 的平分线上， ∴∠BAC=30°． ∴∠ACB=∠BPC=60°，∠ABC=90°．
则 AC=
6 4 3 sin60 3 2 AB   
．
② 如图 2，当 PA=BA=DA，PB=PC=PD 时，点 P 是“准中心”点． 则 PA=6． ∵∠BAD=60°，点 C 在∠BAD 的平分线上， ∴∠BAC=30°． ∴∠APB=75°,
∴∠PCB=
2 1
∠APB=37．5°．
作 BE⊥AC 于点 E．
在 RtΔAEB 中， 3 2 1  ABB E ，
A
B
C
D
P
图 1
A
B
C
D
P
图 2
E
78
33c os   BAE ABA E ．
在 RtΔCEB 中，




5.3 7t an 3
tan ECB BEC E ,
∴ 9 5.3 7t an 333    CEA EA C ． ③如图 3，当 AB=PB=PC=PD=AD 时，点 P 是“准中心”点． 此时四边形 ABPD 是菱形． 连接 BD，
则 PA=2AE=2AB·cos30°=2×6×
2 3 =6 3,
∴ PC PAA C   16 636   ． （稍难题）71．如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90，点 P 为射线 BD，CE 的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若 AB=2，AD=1，把△ADE 绕点 A 旋转， ①当∠EAC=90时，求 PB 的长； ②直接写出旋转过程中线段 PB 长的最小值与最大值． 解：(1)证明：∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90， ∴AB=AC，AD=AE． ∠DAB=90 BAE EAC   ． ∴△ADB≌△AEC． ∴BD=CE ． (2)①如图 1，当点 E 在 AB 上时，BE=AB-AE=1． ∵∠EAC=90，
A
B
C
D
P
图 3
E
第 71 题
图 1
79
∴CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 1 2 5 PB  ． ∴ 2 5 5 PB ． ②如图 2，当点 E 在 BA 延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90， ∴ CE= 2 2 5 AE AC   ． 同(1)可证△ADB≌△AEC． ∴∠DBA=∠ECA ． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC ． ∴ PB BE AC CE  ． ∴ 3 2 5 PB  ． ∴ 6 5 5 PB ． 综上， 2 5 5 PB 或6 5 5 ． (3)PB 长的最小值是 3 1  ，最大值是 3 1  ．
（稍难题）72．已知正方形 ABCD，点 E 在直线 ．．CD 上．
图 2
80
（1）若 F 是直线 ．．BC 上一点，且 AF⊥AE，求证：AF=AE； （请利用图 1 所给的图形加以证明）
（2）写出（1）中命题的逆命题，并在答题卡指定的区域画出一个图形说明该逆命题是假命题； （3）若点 G 在直线 ．．BC 上，且 AG 平分∠BAE，探索线段 BG
， DE
， AE 之间的数量关系，并说
明理由．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠ADC=∠ABF=∠BAD=90°． ∵AE⊥AF, ∴∠EAF=90°=∠BAD． ∴∠BAF=∠DAE． ∴△ABF≌△ADE ． ∴AF=AE． (2)逆命题一：已知:正方形 ABCD 中，E 为直线 CD 上一点，F 为直线 BC 上一点，且 AF=AE．求证： AE⊥AF．（若写为“若 AF=AE，则 AE⊥AF ．”也可） 画图如下（画出一种即可） ：
逆命题二：已知:正方形 ABCD 中，E 为直线 CD 上一点，AF⊥AE，AF=AE．求证： F 在直线 BC 上． （若写为“若 AF=AE ，且 AE⊥AF，则 F 在直线 BC 上．”也可）
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
备用图图 1
第 72 题
81
画图如下（画出一种即可）：
逆命题三：已知:正方形 ABCD 中，E 为直线 CD 上一点，AF=AE．求证：F 在 直线 BC 上，且 AE⊥AF．（画图略）
（3）①如图 1，当 E 在线段 CD 上时：AE=DE+BG． 证明：过 A 点作 AF⊥AE 交 BC 延长线于 F 点． 由（1）得△ABF≌△ADE， ∴∠1=∠2，AF=AE，BF=DE． ∵AG 平分∠BAE, ∴∠3=∠4． ∴∠1+∠3=∠2+∠4， 即∠FAG=∠DAG． ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC， ∴∠AGF=∠DAG=∠FAG． ∴AF=FG． ∴AE=AF=FG=BG+BF． ∴AE=BG+DE． ②如图 2，当点 E 在 CD 延长线上时:BG=DE+AE． 证明：过 A 点作 AF⊥AE 交 BC 延长线于 F 点． 同理可证得 AF=FG=AE，BF=DE． ∴AE=AF=FG=BG－BF=BG－DE．
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
1
图 1
1
G
E
F
D
CB
A
2 4
3
图 2
G
E
F
D
CB
A
图 3
E
F
D
CB
A
F
E
F
D
CB
A
E
F
D
CB
A
82
③如图 3，当 E 在 DC 延长线上时:AE=DE+BG，
证明同①．
综上所述，线段 BG 、 DE 、 AE 之间的数量关系是： AE=DE+BG 或 AE=BG－DE．
（稍难题）73．若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上，其余两个顶点分别在三角形的 另两条边上，则正方形称为三角形该边上的内接正方形．△ABC 中，设 BC＝a，AC＝b，AB＝c， 各边上的高分别记为 ha，hb，hc，各边上的内接正方形的边长分别记为 xa，xb，xc． （1）模型探究：如图，正方形 EFGH 为△ABC 边 BC 上的内接正方形．
求证：
aa xha 111  ；
（2）特殊应用：若∠BAC＝90°，xb＝xc＝2，求
cb 11  的值； （3）拓展延伸：若△ABC 为锐角三角形，b＜c，请你判断 xb与 xc的大小，并说明理由． 解：（1）在正方形 EFGH 中． ∵EH∥FG，∴△AEH∽△ABC．
∵AD⊥BC，∴
EH AK BC AD  ．
∴
a
aaa h xh a x   ．∴
aa xha 111  ．
（2）由（1）得：
bb xhb 111  ． ∵∠A＝90°， ∴ c hb  ．∴ 2 111  cb ． （3）xb＞xc．
A
B P C
D
图 1
E
第 73 题
83
证明：由（1）得：
bb xhb 111  ，
cc xhc 111  ．
∴
b
b b h b bh
x
  ，
c
c c h c ch
x
  ．
∵S＝ c b chb h 2 1 2 1  ，∴ c b chb h  ＝2S． 又∵ A ch b sin  ， A bh c sin  ，
∴
S xchb
xx
cb cb 2 )(11  
S AbcAcb 2 )s in(s in  

S Acb 2 )s in1) ((    ． ∵b＜c， A sin ＜1，
∴ 0 11   cb xx
． ∴xb＞xc．
（稍难题）74．如图,四边形 ABCD中, // AD BC , 45 B  o ,P 是BC 边上一点, PAD △ 的面积为 1 2 , 设 AB x = ,AD y  ． (1)求 y 与x的函数关系式，并画出该函数的大致图像；
(2)若 90 APD oÐ = ,求 y 的最小值． 解：(1)如图 1,过点 A作 AE BC  于点E． 在Rt ABE △ 中, 45 B  o ,AB x  ． ∴ 2 sin 2A E AB B x    ． ∵ 1 1 2 2A PDS AD AE   △ , ∴ 2 1 1 2 2 2 x y   ． ∴ 2 y x  （x>0）． 画图如右：
(2)如图 2，取 AD 的中点，连接PF ，过点P作PH AD  于点H ． ∵PF PH ≥ ,
A
B P C
D
第 74 题
A
B C
D
P
HF
图 1
84
∴ 2 1 2 2 y x  ． 即 2 2x x  ． 当 2 = 2x x 时，y 有最小值．
此时 x=1，y= 2 ．
∴ y 的最小值为 2 ．
（稍难题）75．定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”． 数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒（每根长度记为 1 个单位）中取出若干根，首尾依
次相接组成三角形，进行探究活动． 小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”； 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数三角形”； 小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”． ⑴请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图； ⑵你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果
不能，请说明理由． ①摆出等边“整数三角形”； ②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．
解：⑴小颖摆出如图 1 所示的“整数三角形”：
小辉摆出如图 2 所示三个不同的等腰“整数三角形”：
8
6
10 12
5
13
图 1
4
3 3
5 5 5 5
4 4
3
8 10 10
6 6
图 2
4
3
5
85
⑵①不能摆出等边“整数三角形”．理由如下： 设等边三角形的边长为 a，则等边三角形面积为 2 4 3a ． 因为，若边长 a 为整数，那么面积 2 4 3a 一定非整数． 所以不存在等边“整数三角形”． ②能摆出如图 3 所示一个非特殊“整数三角形”：
4 5
12
15
13
图 3
86
附录 2：
试卷题型参考
（该试卷题型参考与初中学业水平考试试卷的题序安排、考试内容等方面没有对
应关系，仅供学校教学及复习参考）
一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．绝对值等于 2 的数是
A．－2 或 2 B．－2 C．2 D．
2 1
2.下列计算中，正确的是 A．a＋a11＝a12 B．5a－4a＝a C．a6÷a5＝1 D．(a2)3＝a5 3.下列各式中，从左边到右边属于因式分解的是 A． 2 ( 1)x x x x + = + B． 2 2 1= ( 2) 1 x x x x     C． 2 2 1=x x  （ -1） D． 2 2 6 9=x x x  （ -3） 4.一个多边形的内角和是 540°，则这个多边形是 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 5．一只不透明的袋子中装有 4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出 3 个球，
下列事件为必然事件的是 A. 至少有 1 个球是白球 B. 至少有 1 个球是黑球 C. 至少有 2 个球是黑球 D. 至少有 2 个球是白球
6．如图，某个函数的图像由线段 AB 和 BC 组成，其中点 A（0， 4 3 ），B（1， 1 2 ），C（2， 5 3
），则此函
数的最小值是 A．5 3
B．1
C．1 2
D．0
7．如图，无法 ．．保证△ADE 与△ABC 相似的条件是
（第 6 题）
A
D
B C
E
1
2
（第7题）
87
A．∠1=∠C B．∠A=∠C C．∠2=∠B D． AD AE AC AB  8．如图，在直角坐标系中，点 A 是双曲线 3 y x  （ 0 x ）上的一个动点，点 B 是 x 轴正半轴上的一个定点，当点 A 的横坐标逐渐增大时， OAB △ 的面积
将会 A．逐渐减小 B．不变 C．逐渐增大 D．先减小后增大
9.学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量 的 3 倍，则今年购置计算机的数量是（ ）． A.25 台 B.50 台 C.75 台 D.100 台 10．如图，C，D 分别是线段 AB，AC 的中点，分别以点 C，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交
于点 M，测量∠AMB 的度数，结果为
A．  80 B．  90 C．  100 D．  105
二、填空题：(本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的相应位置)
11．计算：(-3)0+3-1= ． 12．如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与
数字“2”相对的面上的数字是 ．
13.甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图，那么
三人中成绩最稳定的是 ．
14．已知m，n为两个连续的整数，且 11 m n   ，则m n   . 15．已知△ABC，∠A=30°，∠B=105°，BC=4，则 AB= ．
（第 12 题）
（第 13 题）
(第 8 题)
x
y
O B
A
A B CD
（第 10 题）
88
16．在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连
线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的四边形 ABCD，其中 AB=2，BC=4，
CD=3，∠B=∠C=90°，则原三角形纸片的斜边长是 ．
三、解答题：(本大题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（8 分）化简： 3 ( ) 3 x x y xy + - ，并说出化简过程中所用到的运算律.
18．（8 分）解不等式组
2 1 0 2 3 x x x ，ì + >ï ï í ï < + ï î ，并把解集在数轴上表示出来.
19.（8 分）如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为 E，F．[ 求证：BE=CF．
20． （8 分）如图，在△ABC 中，AB＝BC，∠A＝25°，点 D 是边 AB 延长线上的一点．请在图中画 出过点 D 且与 BC 平行的直线 DE，并简述直线 DE 与 BC 平行的理由．
21.（8 分）国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了《中国足球发展改革总体方案》，方案实施后， 为了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法 进行问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级， 并将调查结果绘制成如下两幅统计图（部分信息未绘出）.
(第 16 题)
D
CB
A
（第 20 题）
（第 19 题）
89
请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）补齐条形统计图，并求被调查的学生人数； （2）从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“基本了解”的概率是多少？
22． （10 分）甲乙两人匀速从同一地点到 1500 米处的图书馆看书，甲出发 5 分钟后，乙以一定的 速度沿同一路线行走. 设甲乙两人相距s（米），甲行走的时间为t（分）
， s为t的函数，其函数图像的一部分如图所示. （1）求甲行走的速度； （2）当甲出发多少分钟时，甲、乙两人相距 360 米？
23.（10 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作⊙O 的切 线 EF，交 AB 和 AC 的延长线于 E，F． （1）求证：FE⊥AB； （2）当 AE=6，sin∠CFD=3 5 时，求 EB 的长．
24.(12 分)已知一次函数 1 y kx b   （k≠0）的图像经过(2,0)，(4,1)两
人数
非常 了解
不太 了解
比较 了解
等级基 本 了解
不太 了解
非常了解 20%比 较了解
基本了解9 0
60
30
（第21题）
（第23题）
（第22题）
s（米）
t （分）0 5 15 35 25 45 55
150
300
450
（第24题）
90
点，二次函数 2 2 2 4y x ax   （其中 a＞2）．
（1）求一次函数的表达式及二次函数图像的顶点坐标（用含 a 的代数式表示）； （2）利用函数图像解决下列问题：
①若
2 5a ，求当 1 0 y  且 2 y ≤0 时，求自变量 x 的取值范围； ②如果满足 1 0 y  且 2 y ≤0 时的自变量 x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出 a 的取值
范围．
25．（14 分）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°. (1) 将△ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△ABG（如图①）. 求证：△AEG≌△AEF；
(2) 若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图②）. 求证：EF2=ME2+NF2； (3) 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），试探究线段 EF，BE， DF 之间的等量关系，并说明理由.
（第25题）
91
参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．B ； 5．B ； 6．C ； 7．B ； 8．A ； 9．C ； 10．B ． 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．
3 11 ； 12．4； 13．乙； 14．7 ； 15．4 2 ； 16．10 或4 5． 三、解答题：本大题共 9 小题，共 86 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：原式= 2 3 3 3 x xy xy   = 2 3x 所用到的运算律有：分配律、加法结合律. 18．解：由①得 1 2 x ， 由②得 3 x ，
则不等式组的解集为
1 3 2 x   . 此不等式组的解集在数轴上表示为：
19.证明：∵四边形 ABCD 为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，AC=BD， ∴ BO=CO． ∵BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F， ∴∠BEO=∠CFO=90°． 又∵∠BOE=∠COF， ∴△BOE≌△COF． ∴BE=CF．
20．解一：如图，用量角器和直尺画∠BDE＝130°,则 BC∥DE.理由如下: ∵ AB＝BC， ∴ ∠C＝∠A＝25°.
92
∴ ∠CBD＝∠C＋∠A＝50°. ∵ ∠BDE＝130°， ∴ ∠CBD＋∠BDE＝180°. ∴ BC∥DE. 解二：如图，用圆规和直尺作∠BDE＝∠ABC,则 BC∥DE.理由如下: ∵∠BDE＝∠ABC ∴ BC∥DE. 解三：如图，用圆规和直尺作△FDE≌△ABC,则 BC∥DE. 理由如下: ∵△FDE≌△ABC, ∴∠FDE＝∠ABC 又 ∵∠FDE＝∠BDM ∴∠BDM＝∠ABC ∴BC∥DE. 21. 解：（1）补齐条形统计图, 300 （2）∵被调查学生中“基本了解”的人数为： 300-（60+90+30）=120（人），
占被调查学生人数的百分比：
%4 0
300 120  ， ∴抽中的学生对足球知识是“基本了解” 的概率是：P=40%（或= 5 2 或 0.4）. 22．解：（1）甲行走的速度为：150 5 30   （米/分）； （2）由图可知，当 t＝35 时，乙行走的路程为： 30×（35－5）＋150＋450＝1500 米， 则乙行走的速度为：1500÷（35－5）＝50（米/分） ；
人数
非常 了解
不太 了解
比较 了解
等级基 本 了解
90
60
30
120
M
93
设甲出发 t 小时与乙相遇，由30 50( 5) t t = - ，
解得 12.5. t= 当 50 t  时，甲行进了30 50 1500   米. 结合函数图像可知，当 12.5 t  和 50 t  时， 0 s ；当 35 t  时， 450 s ， ①当12.5 35 t  时，由待定系数法可求： 20 250 s t   ， 令 360 s ，即20 250 360 t  ，解得 30.5 t  ； ②当35< 50 t  时，由待定系数法可求： 30 1500 s t   ， 令 360 s ，即 30 1500 360 t   ，解得 38 t  . ∴甲行走 30.5 分钟或 38 分钟时，甲、乙两人相距 360 米.
23．（1）证明：连接 OD.（如图） ∵ OC=OD， ∴ ∠OCD=∠ODC. ∵ AB=AC， ∴∠ACB=∠B. ∴ ∠ODC=∠B. ∴ OD∥AB. ∴ ∠ODF=∠AEF. ∵ EF 与⊙O 相切. ∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF=90°. ∴∠AEF=∠ODF=90°. ∴ EF⊥AB. （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF. 在 Rt△AEF 中，sin∠CFD= AE AF
= 3 5
，AE=6.
∴ AF=10. 在 Rt△ODF 中，sin∠CFD= 3 10 5 OD r OF r   
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解得 r= 15 4
. ∴ AB=AC=2r= 15 2
.
∴ EB=AB－AE= 15 2
－6= 3 2
.
24．解：（1）∵ 一次函数 1 y kx b   （k≠0）的图像经过(2,0)，(4,1)两点，
∴
2 0, 4 1. k b k b      
解得
1, 2 1.
k b        ∴ 1 2 1 1   xy ． ∵ 2 22 2 4 )(42 a axa xxy   ，
∴ 二次函数图像的顶点坐标为 2 ( ,4 ) a a  ．
（2）①当
2 5a 时， 4 522   x xy ． 如图，因为 1 0 y  且 2 y ≤0，由图像得 2＜x≤4． ②13 6 ≤a＜ 5 2 ． 25.（1）证明：由旋转可知：AG=AF，∠GAF=90°. ∵∠EAF=45°, ∴∠GAE=∠EAF=45°. 又∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF.
（2）证明：在正方形 ABCD 中，有 AD∥BC，∠BAD=90°, ∴∠N=∠CEF=45°. ∴∠AMN=∠N=45°.
G
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∴△AMN 是等腰直角三角形，AM=AN. 将△ANF 绕着点 A 顺时针旋转 90°， 得到△AMG. 连接 GE.
∴GM=FN，∠AMG=∠N=45°. ∴∠GME=∠AMG+∠AMN=90°. ∴ 2 2 2 GE ME GM   . 又同（1）可证△AEG≌△AEF.
∴EG=EF. ∴EF2=ME2+NF2. （注：也可把△ADF 旋转到△ABG 进行证明）
（3）如图，延长 AB，AD，分别交直线 EF 于点 M，N， 同（2）可得△AMN 是等腰直角三角形，∠AMN=∠N=45°，AM=AN.
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将△ANF 绕着点 A 顺时针旋转 90°，得到△AMG.
连接 GE. 同（2）可证 EF2=ME2+NF2. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠MBE=∠NDF=90°. ∴△BME 和△DNF 是等腰直角三角形.
∴ME2=2BE2，NF2=2DF2. ∴EF2=2BE2+2DF2 .

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