10个出人意料的数学公式
作者，Sean Li 。原文《10 Mind Blowing Mathematical Equations》
翻译，小米，哆嗒数学网翻译组成员。
很多时候，人们认为数学公式只是为了记忆来应付考试的。但有些时候，数学公式的价值却远超于此——它们本身就是艺术品，为纯粹的享受而生。今天我就收集了以此为目的的10个最惊人、眩目和疯狂的数学公式。这些方程应该能向任何人说明，数学不仅仅只是公式的记忆。
1. 欧拉恒等式
这是一个非常著名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的联系：π、e和-1的平方根。许多人认为这是数学中最漂亮的公式。
一个更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。由-1+1=0，我们得到了欧拉恒等式。
2. 欧拉乘积公式
等式左边的符号是无穷求和，而右边的符号则是无穷乘积。这个公式也是欧拉首先发现的。它联系了出现在等式左边的自然数(如n=1，2，3，4，5等等)与出现在等式右边的素数(如p=2，3，5，7，11等等)。而且我们可以选取s为任意大于1的数，并保证等式成立。
欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常见的一种表示形式。
3. 高斯积分
函数e^(-x?2;)本身在积分中是很难对付的。可是当我们对它在整个实数轴上积分，也就是说从负 无穷到正无穷时，我们却得到了一个十分干净的答案。至于为什么曲线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。
由于这个公式代表了正态分布，它在统计中也十分重要。
4. 连续统的基数
上面的公式说明了实数集的基数与自然数全体子集的基数相同。这首先是被集合论的建立者康托尔证明的。值得注意的是，这也说明了连续统是不可数，因为2^N > N。
一个相关的假设是连续统假设。这个假设是说，在N和R之间不存在其它的基数。有趣的是，这个假设有一个奇怪的性质：它既不能被证明也不能被证伪。
5. 阶乘函数的解析延拓
阶乘函数通常被定义为n!=n(n-1)(n-2)……1。但是这个定义只对n是正整数时有效，而上面积分方程则对分数和小数也有效，而且还可以用于负数、复数等等……
同样的积分式中我们把n换成n-1就定义了伽马函数。
6. 勾股定理
勾股定理恐怕是这个清单中最熟悉的公式了。它给出了直角三角形三边的联系，其中a和b是直角边长，而c是斜边长。这个公式还将三角形和正方形联系了起来。
7. 斐波那契数列的通项
这里，注意到φ这个数字是黄金分割比例。很多人可能听说过斐波那契数列(0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中每一项是前两项的和)，却很少人知道有一个公式能够计算出任意某一项斐波那契数：这就是上面我们给出的公式，公式里面F(n)代表第n个斐波那契数。也就是说，为了得到第100个斐波那契数，你不需要去计算前99个，而只需要把100代入公式。
值得注意的是，即便在计算过程中出现了许多根号和除法，最后的答案总是一个精确的正整数。
8. 巴塞尔问题
这个公式告诉我们，如果你取所有完全平方数并将它们的倒数和相加，你将会得到\pi^2/6。这是欧拉首先证明的。注意到这个式子只是在前面的第二个方程(欧拉乘积公式)中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我们可以说ζ(2)的值是π?2;/6。
9. 调和级数
这个公式有点反直觉，因为它告诉我们，如果你把一些不断变小的数(最终趋向0)加起来，最后将会得到无穷。可是如果你是取它们的平方，和却是一个有限的值(答案是π?2;/6)。如果仔细观察调和级数，你会发现它正是ζ(1)。
10. 素数计数公式的显式表达
这个方程的重要性体现在：
素数是那些除了1和它本身以外没有其它因子的数。小于100的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素数的出现没有显然的规律：对于一串连续正整数，有时候你会找到许多素数，有时候你会一个也找不到。找到很多或一个找不到似乎是完全随机的。
很长时间以来，数学家都在尝试给出素数分布的规律。上面的公式正是不大于一个给定数素数个数的显式表达。
以下是各个符号的意义：
π(x): 素数计数函数。它给出了不大于一个给定数的素数个数。例如，π(6)=3，因为有3个素数不大于6：2，3，5。
μ(n): 莫比乌斯函数。它依据n的质因数分解而取值为0， -1或1。
Li(x): 对数积分函数。它被定义为函数1/lnt从2到x的积分。
ρ: 黎曼ζ函数的任意非平凡零点。
令人吃惊的是，整个公式的结果总是一个精确的正整数!这说明，给定一个实数，我们可以把它代入公式并得到不大于它的素数个数。存在着这样一个公式的事实说明，素数的分布存在某些规律，只是我们现在还不能理解罢了。
- 院校动态
- 招生计划
- 学校答疑
- 中考资讯
- 分数线
漳平职业中专学校2024级新生开学流程
莆田艺术学校2024年秋季开学致学生及家长们的一封信
安溪陈利职业中专学校2024年秋季中职24级新生入学须知
福州旅游职业中专学校24级新生必看！入学指南来啦~请查收！
亲爱的同学： 祝贺你成为教育厅首批达标中职学校——泉州市泉港航运职业中专学校2024级新生，全体师生欢迎你的到来。为确保新同学入学报到有序完成，结合教育主管部门要求，现将入学报到有关事项通知如下：
新学期将至，厦门信息学校2024级普职融通班的新生9月1日开学，其余专业新生9月8日开学。现就开学报到事宜通知如下，请各位家长和学生仔细阅读。
亲爱的同学： 盼望着，盼望着，新的学习就要开始了！新学期、新气象、新期待，新的征程正在开启，福州第一技师学院期待与你一起谱写新的华章。为便于你顺利入学，请务必认真阅读以下内容并做好相关准备工作：
厦门市集美职业技术学校2024级新生入学指南来啦，请查收！
德化职业技术学校2024年秋季军训告知书
德化职业技术学校2024年秋季开学致家长和学生的一封信
闽南理工学院2024年高等教育自学考试体制改革试点专业(专科)招生计划
泉州农业学校2024年招生计划
福建省三江技师学院2024年招生计划
建瓯市技工学校2024年招生计划
南平市闽北高级技工学校2024年招生计划
南平技师学院2024年招生计划
政和县中等职业技术学校2024招生计划
松溪县中等职业技术学校2024年招生计划
光泽县职业中专学校2024年招生计划
浦城职业技术学校2024年招生计划
泉州市农业学校师资力量怎么样?回望过去，泉州市农业学校已走过数十载春秋，培养出了无数优秀的农业人才;展望未来，学校将继续秉承“厚德载物，强农兴邦”的校训精神，不断开拓进取，为推动我国农业现代化进程和乡村振兴战略的实施贡献更大的力量。那么，泉州市农业学校师资力量怎么样?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校学科实力怎么样?泉州市农业学校，这所充满活力和创新的农业学府，始终将科研成果转化视为推动农业发展的重要途径。学校积极与企业合作，共同开展农业科研项目，将科研成果转化为实际应用，为地方农业经济的转型升级提供了强有力的科技支撑。那么，泉州市农业学校学科实力怎么样?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校有实训场地吗?在科技日新月异的今天，泉州市农业学校紧跟时代潮流，积极推进教育信息化和智能化建设。学校利用现代信息技术手段，打造智慧课堂，提升教学质量，让农业教育更加生动、高效、便捷，为培养新时代农业人才提供了有力支撑。那么，泉州市农业学校有实训场地吗?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校读书好就业吗?泉州市农业学校，以其深厚的文化底蕴和卓越的办学成果，在农业教育领域享有盛誉。学校坚持立德树人，注重学生综合素质的培养，通过丰富多彩的校园文化活动和社会实践活动，让学生在实践中成长，在成长中成才。那么，泉州市农业学校读书好就业吗?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校有升学途径吗?漫步在泉州市农业学校的校园内，绿树成荫，花香四溢，一派和谐美好的景象。这里不仅是学习的殿堂，更是梦想起航的地方。无数学子在这里播下希望的种子，用勤奋和智慧书写着属于自己的农业传奇。那么，泉州市农业学校有升学途径吗?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校有社团活动吗?泉州市农业学校，这所承载着地方农业发展梦想的学校，始终将服务“三农”作为己任。学校紧跟时代步伐，不断调整优化专业设置，确保培养出的学生能够满足现代农业发展的多元化需求，为乡村振兴注入新的活力。那么，泉州市农业学校有社团活动吗?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校校园环境怎么样?在快速发展的现代农业浪潮中，泉州市农业学校以其独特的办学理念和鲜明的专业特色脱颖而出。学校致力于培养具有创新精神和实践能力的农业人才，通过校企合作、产教融合等多种模式，为学生搭建起通往农业行业精英的桥梁。那么，泉州市农业学校校园环境怎么样?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校招生对象是什么?泉州市农业学校，作为区域内农业教育的佼佼者，始终站在农业科技的前沿。学校不仅拥有先进的教学设施和实验室，更汇聚了一批经验丰富的教师团队，他们用心传授知识，用爱培育人才，为农业科技的进步和农村经济的发展贡献力量。那么，泉州市农业学校招生对象是什么?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校有没有助学资助?走进泉州市农业学校，仿佛步入了一个充满生机与希望的绿色世界。这里，理论与实践紧密结合，学生们在广阔的试验田里学习最新的农业技术，用汗水浇灌着未来的希望之田，为乡村振兴贡献青春力量。那么，泉州市农业学校有没有助学资助?下面，老师带你们一起来了解一下。
泉州市农业学校怎么收费的?在福建省的璀璨明珠泉州市，有一所历史悠久的农业学府——泉州市农业学校，它不仅是培养农业技术与管理人才的摇篮，更是推动地方农业现代化进程的重要力量。学校依托丰富的地域资源，不断探索与实践，为农业领域输送了一批又一批的精英。那么，泉州市农业学校怎么收费的?下面，老师带你们一起来了解一下。
2024年福建中考最大的变化之一就是新设立了“综合高中班”，那么目前，福建首批综合高中班也已经开学，一起来看看具体是什么情况。如有疑问，可以点击咨询>>在线
福建省教育厅发布《高职院校分类考试招生实施办法作出调整(面向中职学校毕业生)》，共有3项内容做出调整，具体情况如下，一起来看看！
最新消息!福州4所学校申请达标高中晋级评估，福州市教育局今日公示：福州第十中学、闽侯第四中学、长乐第六中学、福州市书生实验学校将申请达标高中晋级评估其中，福州十中
最新！2024年福建中职学校升学情况汇总！30大类的全省第一分别来自哪所学校呢？其中有你的学校吗？一起往下看吧~
9月1日不开学！9月1日不开学！9月1日不开学！重要的事情说三遍！近日 福建多地教育局发布了2024-2025学年中小学校校历延期至9月2日开学
五年制大专是不少离普高只差一步之遥学生的选择。五年时间即可快速拿到大专文凭，学一门就业技能是五年制大专的主要优势。但五年制大专学生未来还需要面以下挑战，我们要提前认清现状，早做筹划，才能更好规划未来。
在中职学校上学时能带手机吗？本文总结了福建省各市（南平市除外）职业学校课堂手机的相关规定。
义务教育三科统编教材，将在金秋九月“焕新”。 历时两年多修订，义务教育道德与法治、语文、历史统编教材近期完成了全部编审程序。在保持总体容量基本不变的前提下，选材更丰富，编排更科学，育人导向更鲜明。
职业教育高考是职业学校学生提升学历、实现东山再起的一条重要途径。但在这条道路上，有些真相也许还没有人告诉你，却是每个参加职教高考的中职生都需要面对的现实。
很多人知道中职可以升学后，就以为中职考大学比普高更容易更轻松，但事实真的如此吗？
2021年福建省中考于6月25日至27日举行，此前，经过两年的准备和过渡，2021年起全省初中毕业生全面实行新的高中阶段学校考试招生方案，形成基于初中学业水平考试成绩、结合综合素质评价的高中阶段学校考试招生录取模式，促进学生全面发展健康成长，维护教育公平。
2021年部分地区的中考时间已经确定了，不仅学生们都在把握时间努力在剩下的日子里创造奇迹，家长朋友们也在用自己的方式给他们加油打气。在中国，中考和高考都是很重要的，都是孩子们的新的起点，所以家长和学校老师都很在意中考分数线，现在也有一些专业人士根据往年情况对中考分数线以及最低分数线做出了预测，大家一起来了解一下2021年中考分数线是多以及2021年中考最低分数线的内容。
语文、数学、英语3门科目满分各150分，按卷面原始分数计入中招录取总分;体育与健康科目满分40分(含基本知识4分，与道德与法治合一张考卷考试，16道选择题);物理、化学、道德与法治、历史、地理、生物学科卷面分数均为100分，分别按卷面成绩的90%、60%、50%、50%、30%、30%计入中招录取总分，满分分别为90分、60分、50分、50分、30分、30分。
根据《龙岩市招生考试委员会关于做好龙岩市2020年初中学业水平考试与高中阶段学校(含五年制高职)招生工作的通知》(岩招委〔2020〕1号),2020年永定区普通高中录取分数线已经